[論文レビュー] A Local Algorithm for Constructing Spanners in Minor-Free Graphs

Reut Levi, Dana Ron+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$H$-minor-freeグラフにおいて、伸張率$\tilde{O}(h\log d/\epsilon)$を達成する局所的アルゴリズムを提示する。各クエリあたりのプローブ計算量は$\mathrm{poly}(d, 1/\epsilon, h)$に制限され、成功確率は$1 - 1/ olimits\Omega(n)$に達する。これは、minor-freeグラフにおける前人研究に比べ、効率性と信頼性の両面で顕著な向上を示している。

ABSTRACT

Constructing a spanning tree of a graph is one of the most basic tasks in graph theory. We consider this problem in the setting of local algorithms: one wants to quickly determine whether a given edge $e$ is in a specific spanning tree, without computing the whole spanning tree, but rather by inspecting the local neighborhood of $e$. The challenge is to maintain consistency. That is, to answer queries about different edges according to the same spanning tree. Since it is known that this problem cannot be solved without essentially viewing all the graph, we consider the relaxed version of finding a spanning subgraph with $(1+ε)n$ edges (where $n$ is the number of vertices and $ε$ is a given sparsity parameter). It is known that this relaxed problem requires inspecting $Ω(\sqrt{n})$ edges in general graphs, which motivates the study of natural restricted families of graphs. One such family is the family of graphs with an excluded minor. For this family there is an algorithm that achieves constant success probability, and inspects $(d/ε)^{poly(h)\log(1/ε)}$ edges (for each edge it is queried on), where $d$ is the maximum degree in the graph and $h$ is the size of the excluded minor. The distances between pairs of vertices in the spanning subgraph $G'$ are at most a factor of $poly(d, 1/ε, h)$ larger than in $G$. In this work, we show that for an input graph that is $H$-minor free for any $H$ of size $h$, this task can be performed by inspecting only $poly(d, 1/ε, h)$ edges. The distances between pairs of vertices in the spanning subgraph $G'$ are at most a factor of $ ilde{O}(h\log(d)/ε)$ larger than in $G$. Furthermore, the error probability of the new algorithm is significantly improved to $Θ(1/n)$. This algorithm can also be easily adapted to yield an efficient algorithm for the distributed setting.

研究の動機と目的

• minor-freeグラフのスパースな生成部分グラフにおけるエッジ所属クエリに、サブ線形的・局所的なプローブを用いて応答する局所的アルゴリズムの設計。
• $H$-minor-freeグラフにおいて、$h$に関して指数的から多項式的へとプローブ計算量を低下させること。
• minor-freeグラフにおいて、局所的スパニングサブグラフ構築の成功確率を定数から$1 - 1/\Omega(n)$へ向上させ、大規模グラフにおいても高い信頼性を確保すること。
• 局所的クエリの一貫性を維持しつつ、伸張率$\tilde{O}(h\log d/\epsilon)$を達成すること。
• 局所的計算を通じて、分散型メッセージパッシングモデルへの効率的適応を可能とすること。

提案手法

• ランダムにサンプリングされた頂点集合$W$に基づく確率的グローバルな分割スキームを用いる。密度$\gamma = \epsilon / (2c(h))$を設定する。
• 各頂点は、BFSを用いて$W$内の最近傍頂点に割り当てられ、分割$\mathcal{P}$の部分集合が形成される。中心は局所的BFSに基づく手順で決定される。
• エッジ選択はランク付けシステムに基づく：各部分集合内ではBFS木に含まれるエッジが含まれ、部分集合間では、2つの部分集合を接続する最小ランクのエッジが選ばれる。
• プローブ計算量は$O(kd^3)$で抑えられ、ここで$k = \Theta((\log^2(1/\gamma) + \log d)/\gamma)$である。これにより、サブ線形クエリ時間が保証される。
• チェビシェフの不等式と対照的独立性を用いて、$W$および$R$のサイズを抑え、測度の集中を保証する。
• 最終的なスパニオン$G'$は、局所的BFS木と部分集合間エッジを組み合わせて構築され、各部分集合の直径の2倍の伸張率で抑えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プローブ計算量が$n$に依存しない局所的アルゴリズムは、minor-freeグラフにおいてスパースなスパニオンを構築可能か？
• RQ2 多項式対数プローブ計算量を満たす局所的アルゴリズムが、$H$-minor-freeグラフにおいて達成可能な最小の伸張率は何か？
• RQ3 minor-freeグラフにおいて、局所的スパニングサブグラフ構築の成功確率を定数から$1 - 1/\Omega(n)$へ向上させることは可能か？
• RQ4 最大次数$d$と除外マイナーのサイズ$h$は、局所的スパニングサブグラフ構築の効率性と伸張率にどのように影響を与えるか？
• RQ5 局所的アルゴリズムは、分散型メッセージパッシングモデルに効率的に適応可能か？

主な発見

• アルゴリズムのプローブ計算量は$\mathrm{poly}(d, 1/\epsilon, h)$であり、以前の$(d/\epsilon)^{\mathrm{poly}(h)\log(1/\epsilon)}$の境界に比べ顕著な改善である。
• スパニオンの伸張率は$\tilde{O}(h\log d/\epsilon)$であり、$d$に関して指数的ではなく、かつ先行研究に比べ顕著に優れている。
• 成功確率は$1 - 1/\Omega(n)$であり、前人研究の定数成功確率に比べ向上している。
• アルゴリズムは高確率で$(1 + \epsilon)n$本以下のエッジを持つスパニオンを生成し、緩いスパarsity要件を満たす。
• プローブ計算量は$O(kd^3)$、実行時間は$O(k^2d^3)$であり、$k = \Theta((\log^2(1/\gamma) + \log d)/\gamma)$である。これにより、有界次数グラフにおいても効率性が保証される。
• 分散モデルへの適応が同様の計算量で可能であり、スケーラブルな展開を可能にしている。