[論文レビュー] A Log-space Algorithm for Canonization of Planar Graphs

Samir Datta, Nutan Limaye+3 more|ArXiv.org|Sep 15, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、平面グラフの正規化のための対数領域アルゴリズムを提示し、再帰的なグラフの分解を用いて、二連結成分および三連結成分に分解することで、平面グラフ同型性のL完全性を達成した。Lindellの木正規化法を対数領域で使用可能にするように修正し、自己同型の数を制限する群論的補題を用いる。主な結果として、平面グラフ正規化（したがって同型性）が対数領域に属することを示した。これにより、このクラスのグラフにおける複雑度のギャップが解消された。

ABSTRACT

Graph Isomorphism is the prime example of a computational problem with a wide difference between the best known lower and upper bounds on its complexity. We bridge this gap for a natural and important special case, planar graph isomorphism, by presenting an upper bound that matches the known logspace hardness [Lindell'92]. In fact, we show the formally stronger result that planar graph canonization is in logspace. This improves the previously known upper bound of AC1 [MillerReif'91]. Our algorithm first constructs the biconnected component tree of a connected planar graph and then refines each biconnected component into a triconnected component tree. The next step is to logspace reduce the biconnected planar graph isomorphism and canonization problems to those for 3-connected planar graphs, which are known to be in logspace by [DattaLimayeNimbhorkar'08]. This is achieved by using the above decomposition, and by making significant modifications to Lindell's algorithm for tree canonization, along with changes in the space complexity analysis. The reduction from the connected case to the biconnected case requires further new ideas, including a non-trivial case analysis and a group theoretic lemma to bound the number of automorphisms of a colored 3-connected planar graph. This lemma is crucial for the reduction to work in logspace.

研究の動機と目的

• 平面グラフ同型性の既知の下界と上界の間の複雑度ギャップを埋める。
• 平面グラフ正規化が対数領域にあることを確立し、問題のL完全性を証明する。
• 構造的分解を用いて、3連結平面グラフに関する先行結果を一般の平面グラフへ拡張する。
• 再帰的木正規化を最小限の領域使用で処理できる対数領域アルゴリズムを開発する。

提案手法

• 平面グラフをその二連結成分に分解し、対数領域で二連結成分木を構築する。
• 各二連結成分をさらに三連結成分に分解し、三連結成分木を構築する。対数領域実装を用いる。
• 構造的分解を用いて、二連結平面グラフの同型性および正規化を、3連結平面グラフのそれへ還元する。
• 再帰的構造を持つ成分木を扱えるように、Lindellの対数領域木正規化アルゴリズムを修正し、領域効率を維持する。
• 彩色された3連結平面グラフの自己同型の数を制限するための群論的補題を用い、対数領域還元を可能にする。
• 短い再構築可能なグラフの性質を用いて、深さのある再帰における状態の回復を実現し、領域を管理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面グラフ同型性の複雑度をAC¹から対数領域に低下させることは可能か？
• RQ2 成分分解を用いて、平面グラフを対数領域で正規化する方法はあるか？
• RQ3 Lindellの木正規化アルゴリズムは、階層的グラフ構造における対数領域使用に適応可能か？
• RQ4 二連結成分から3連結成分への対数領域還元を可能にする構造的性質は何か？
• RQ5 彩色された3連結平面グラフにおける自己同型の数の上限は、対数領域複雑度を保証するために利用可能か？

主な発見

• 平面グラフ正規化は対数領域に属し、問題のL完全性が確立された。
• アルゴリズムは、対数領域で構築可能な成分木を用いて、再帰的にグラフを二連結成分および三連結成分に分解することでこれを達成した。
• 再帰的分解により空間計算量がO(log N)に制限されるように、Lindellの木正規化アルゴリズムの修正版が使用された。
• 彩色された3連結平面グラフの自己同型の数を制限する新しい群論的補題が提案され、対数領域還元に不可欠であった。
• 中間状態の短い記述のみを保存し、必要に応じて再計算することで、アルゴリズムはO(log N)の領域しか使用しなかった。
• 最終的な正規形は、すべての関節点をルートとして巡回し、辞書式に最小の表現を選択することで構築された。これもすべて対数領域で実行された。