[論文レビュー] A Martingale Approach for Fractional Brownian Motions and Related Path Dependent PDEs

Frédéri Viens, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、分数 Browm運動などのボルテラ型過程に対して、時間非整合性および非半マルチンゲール性を克服するため、補助マルティンググール過程 Θ を導入することで、関数的 Itô 微積分を構築する。主な貢献は、非マルコフ的・非半マルチンゲール的設定へのデュピルの関数的 Itô 微積分の拡張を可能にする経路に依存する PDE フレームワークの構築であり、これにより、粗いボラティリティモデルにおける条件付き期待値の計算およびオプションプライシングが可能になる。

ABSTRACT

In this paper we study dynamic backward problems, with the computation of conditional expectations as a main objective, in a framework where the (forward) state process satisfies a Volterra type SDE, with fractional Brownian motion as a typical example. Such processes are neither Markov processes nor semimartingales, and most notably, they feature a certain time inconsistency which makes any direct application of Markovian ideas, such as flow properties, impossible without passing to a path-dependent framework. Our main result is a functional Itô formula, extending the seminal work of Dupire \cite{Dupire} to our more general framework. In particular, unlike in \cite{Dupire} where one needs only to consider the stopped paths, here we need to concatenate the observed path up to the current time with a certain smooth observable curve derived from the distribution of the future paths. This new feature is due to the time inconsistency involved in this paper. We then derive the path dependent PDEs for the backward problems. Finally, an application to option pricing in a financial market with rough volatility is presented.

研究の動機と目的

• 非マルコフ的・非半マルチンゲール的過程（例：分数 Browm 動作）の条件付き期待値を計算する課題に対処すること。
• 標準的な PDE やマルコフ的手法が適用できない、ボルテア型 SDE における時間非整合性およびフロー性の欠如を克服すること。
• 補助マルティンググール過程 Θ を導入することで、デュピルの関数的 Itô 微積分を非半マルチンゲール的過程へ拡張すること。
• 状態過程がその全歴史に依存する枠組みにおいて、後向き問題のための経路に依存する PDE を導出し、解くこと。
• 粗いボラティリティを持つ金融モデル（例：粗い Bergomi モデル）におけるオプションプライシングおよびヘッジに応用可能であるようにすること。

提案手法

• 固定された s に対して t におけるマルティンググールである Θₛᵗ = ∫₀ᵗ K(s,r) dWᵣ として定義される補助過程 Θ を導入し、半マルチンゲール性を回復すること。
• Xₛ = Θₛᵗ + (Xₛ − Θₛᵗ) の直交分解を用いて、過去依存成分と未来条件付き成分を分離すること。
• 条件付き期待値を Yₜ = u(t, X[₀,ₜ) ⊗ Θᵗ[ₜ,ₜ]) として再定式化し、u が観測された経路と、将来的な経路の分布から導かれる滑らかな未来経路観測量に依存することを明示すること。
• 現在の経路および未来経路観測量への経路依存性を考慮した、デュピルの枠組みを拡張した新しい関数的 Itô 公式を導出すること。
• マルティンググール性 Θ およびプロセスの時間非整合構造を活用して、関数 u に対する経路に依存する PDE (PPDE) を確立すること。
• フレームワークを粗い Bergomi モデルに適用し、拡張された微積分が、粗いボラティリティを持つモデルにおける条件付き期待値およびオプションプライシングを可能にすることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的 Itô 微積分は、非半マルチンゲール的・非マルコフ的過程（例：分数 Browm 動作）へどのように拡張可能か？
• RQ2 時間非整合的プロセスにおいて、マルコフ的またはフロー性の類似形を回復するために必要な補助構造は何か？
• RQ3 状態過程が半マルチンゲール的またはマルコフ的性質を持たない場合、経路に依存する枠組みにおいて条件付き期待値はどのように表現可能か？
• RQ4 記憶を持つボルテア型プロセスに対するデュピルの関数的 Itô 公式の正しい一般化は何か？
• RQ5 提案されたフレームワークは、粗いボラティリティを持つ金融モデル（例：粗い Bergomi モデル）におけるオプションプライシングに応用可能か？

主な発見

• 本稿では、補助マルティンググール過程 Θ を通じた未来経路観測量の組み込みにより、非半マルチンゲール的過程へのデュピルの枠組みの拡張を可能にする、画期的な関数的 Itô 公式を導入している。
• 後向き問題の解は、現在の経路 X[₀,ₜ) および未来経路観測量 Θᵗ[ₜ,ₜ] の関数 u として表現され、一般化された経路に依存する PDE の形をとる。
• プロセス (X, Θ) の組み合わせにより、元のプロセスの時間非整合性にもかかわらず、フロー性の類似形を回復でき、PDE を用いた解析が可能になる。
• フレームワークは粗い Bergomi モデルに適用され、その過程がボラティリティのドリフトの指数的増加により、厳密な局所マルティンググールに帰着する可能性があることが示された。
• ρ = 0 および H = 1/2 の粗い Bergomi モデルにおいて、p > 1 のとき E[Sₜᵖ] = ∞ であることが証明されており、1 より大きなモーメントが存在しないことを示している。
• ペイオフ関数 g が線形成長を示す場合、変換関数 ̂g(x) = g(eˣ) が指数関数的に成長することを示しており、これは標準的な PDE 法における積分可能性条件を破るため、本稿で提案されたフレームワークの必要性を強調している。