[論文レビュー] D-SOLUTIONS TO THE SYSTEM OF VECTORIAL CALCULUS OF VARIATIONS IN L ∞ VIA THE BAIRE CATEGORY METHOD FOR THE SINGULAR VALUES

Gisella Croce, Nikos Katzourakis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2016

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、Dacorogna-Marcelliniのベールカテゴリー法を用いて、凸性を仮定しない完全非線形系のL∞におけるベクトル値変分法のD解を導入し、凸性なしでW^{1,∞}-サブマージョンが特徴的点として存在することを確立している。一般次元n ≠ Nにおける特異値問題の強い解の新たな存在結果を証明している。

ABSTRACT

For $\mathrm{H}\in C^2(\mathbb{R}^{N imes n})$ and $u :\Omega \subset \mathbb{R}^n o \mathbb{R}^N$, consider the system \[ \label{1} \mathrm{A}_\infty u\, :=\,\Big(\mathrm{H}_P \otimes \mathrm{H}_P + \mathrm{H}[\mathrm{H}_P]^\bot \mathrm{H}_{PP}\Big)(D u):D^2u\, =\,0. ag{1} \] The PDE system \eqref{1} is associated to the supremal functional \[ \label{2} \mathrm{E}_\infty(u,\Omega')\, =\, \big\| \mathrm{H}(D u)\big\|_{L^\infty(\Omega')}, u\in W^{1,\infty}_{ ext{loc}}(\Omega,\mathbb{R}^N), \Omega'\Subset \Omega, ag{2} \] and first arose in recent work of the 2nd author as the analogue of the Euler-Lagrange equation. Herein we employ the Dacorogna-Marcellini Baire Category method to construct $\mathcal{D}$-solutions to the Dirichlet problem for \eqref{1}, an apt notion of generalised solutions recently proposed for fully nonlinear systems. Our $\mathcal{D}$-solutions to \eqref{1} are $W^{1,\infty}$-submersions corresponding to ``critical points of \eqref{2} and are obtained without any convexity hypotheses. Along the way we establish a result of independent interest by proving existence of strong solutions to the singular value problem for general dimensions $n eq N$.

研究の動機と目的

• 完全非線形系の一般化された解概念、D解を、L∞における汎関数の上限型関数から生じる系に対して開発すること。
• ハミルトニアンHの凸性を仮定しない条件下で、A∞u = 0のディリクレ問題を扱うこと。
• 一般次元n ≠ Nにおける特異値問題の強い解の存在を確立すること。
• Dacorogna-Marcelliniのベールカテゴリー法をL∞設定におけるベクトル値系に拡張すること。
• 凸性の欠如下でも、汎関数E∞(u,Ω') = ||H(Du)||_{L∞(Ω')}の臨界点を扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• Dacorogna-Marcelliniのベールカテゴリー法を用いて、A∞u = 0のD解を構成する。
• PDE系A∞u := (HP ⊗ HP + H[HP]^⊥ HPP)(Du) : D²u = 0を、W^{1,∞}_{loc}(Ω,ℝ^N)における上限型汎関数E∞(u,Ω') = ||H(Du)||_{L∞(Ω')}のEuler-Lagrange方程式として用いる。
• ベールカテゴリー法を用いて、W^{1,∞}-サブマージョンの空間に解を構成する。
• 凸性の欠如下における完全非線形系の一般化解（D解）の枠組みで作業する。
• 任意の次元n ≠ Nにおける特異値問題の強い解の存在を、標準的な凸性仮定とは独立に証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンHの凸性仮定なしに、ベクトル値A∞-系に対するD解を構成できるか？
• RQ2 ベールカテゴリー法は、L∞におけるベクトル値変分法にどのように適合できるか？
• RQ3 n ≠ Nのとき、特異値問題の強い解の存在状態はいかなるものか？
• RQ4 W^{1,∞}-サブマージョンは、上限型汎関数E∞(u,Ω')の臨界点に対応するか？
• RQ5 Duの特異値は、A∞-系の構造において果たす役割は何か？

主な発見

• ハミルトニアンHの任意の凸性仮定なしに、A∞u = 0のD解がW^{1,∞}に構成された。
• ベールカテゴリー法はL∞におけるベクトル値設定にうまく拡張され、一般化解をもたらした。
• 一般次元n ≠ Nにおける特異値問題の強い解の存在に関する新たな結果が確立された。
• 解は、凸性の欠如下でも上限型汎関数E∞(u,Ω') = ||H(Du)||_{L∞(Ω')}の臨界点を実現するW^{1,∞}-サブマージョンである。
• A∞u = 0は、ベクトル値状況における上限型汎関数の自然なEuler-Lagrange方程式であると特定された。