[論文レビュー] A new family of maximum scattered linear sets in $\mathrm{PG}(1,q^6)$

Daniele Bartoli, Corrado Zanella+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、奇数 q に対して h^{q^3+1} = -1 を満たす h ∈ ℱ_{q^6} をパrameterとする特定の q-多項式 f_h(x) = h^{q-1}x^q - h^{q^2-1}x^{q^2} + x^{q^4} + x^{q^5} を用いて、PG(1,q^6) における新しい最大散乱 ℱ_q-線形集合の族を導入する。この構成により、新しい最大散乱線形集合が得られ、Sheekeyの対応により、パラメータ (6,6,q;5) の新しい ℱ_q-線形 MRD符号が得られる。これらは、q が 5 のべきであり h ∈ ℱ_q である特別な場合を除き、これまでに知られていたすべての符号と非同型である。この結果、2019年に提起された、このような線形集合の頂点性に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We generalize the example of linear set presented by the last two authors in "Vertex properties of maximum scattered linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$" (2019) to a more general family, proving that such linear sets are maximum scattered when $q$ is odd and, apart from a special case, they are are new. This solves an open problem posed in "Vertex properties of maximum scattered linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$" (2019). As a consequence of Sheekey's results in "A new family of linear maximum rank distance codes" (2016), this family yields to new MRD-codes with parameters $(6,6,q;5)$.

研究の動機と目的

• PG(1,q^n) における最大散乱線形集合の既知の例を n=6 の場合に一般化すること。
• 奇数 q に対して、新しい線形集合の族が最大散乱であることを証明すること（特別な場合を除く）。
• 文献[27]で提起された、このような線形集合の新規性に関する未解決問題を解決すること。
• 関連する MRD 符号が、これまでに知られていたすべての ℱ_q-線形 MRD 符号と非同型であることを確立すること（特定のケースを除く）。
• Sheekeyの構成を通じて、散乱線形集合と MRD 符号の関係を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、h ∈ ℱ_{q^6} で h^{q^3+1} = -1 を満たすものとして、ℱ_{q^6} 上の q-多項式 f_h(x) = h^{q-1}x^q - h^{q^2-1}x^{q^2} + x^{q^4} + x^{q^5} を定義する。
• 彼らは定理 2.1 を適用し、f_h(x) の散乱性を、変更されたディクソン行列から導かれる2つの行列式が共通の根を持たないことを確認することで還元する。
• 証明は場合分けによって行われる：まず h ∈ ℱ_q の場合（このとき q ≡ 1 (mod 4) となる）、次に h ∉ ℱ_q の場合で、h ≠ ±√(-1) となるようにして ℱ_{q^2} に属さないようにする。
• 著者らは体論的議論とトレース形式の性質を用いて、行列式条件が満たされることを示し、散乱性を確認する。
• 線形集合 ℒ_h が、PG(1,q^6) における既知のすべての散乱線形集合と PΓL-同型でないことが示され、h ∈ ℱ_{q^2} の場合を除く。
• Sheekeyの対応により、線形集合 ℒ_h はパラメータ (6,6,q;5) の ℱ_q-線形 MRD 符号を生成し、左イデアルライザーは ℱ_{q^6} に同型である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ h が h^{q^3+1} = -1 を満たすすべての奇数 q に対して、新しい q-多項式 f_h(x) は散乱的であるか？
• RQ2 f_h(x) に付随する線形集合 ℒ_h は、q が 5 のべきであり h ∈ ℱ_q である特別な場合を除き、PΓL-同型を除いて既知のものとは異なるか？
• RQ3 ℒ_h から得られる MRD 符号は、パラメータ (6,6,q;5) の既知のすべての ℱ_q-線形 MRD 符号と非同型であるか？
• RQ4 h ∉ ℱ_{q^2} の場合、線形集合 ℒ_h は三項式によって定義可能か？
• RQ5 f_h(x) の構成は、[27] の例の一般化であるか？また、最大散乱線形集合の頂点性に関する未解決問題を解消するか？

主な発見

• q-多項式 f_h(x) = h^{q-1}x^q - h^{q^2-1}x^{q^2} + x^{q^4} + x^{q^5} は、すべての奇数 q および h ∈ ℱ_{q^6} で h^{q^3+1} = -1 を満たすものに対して、変更されたディクソン行列の行列式条件を用いて散乱的であることが証明された。
• 関連する線形集合 ℒ_h は PG(1,q^6) において最大散乱であり、h ∈ ℱ_q かつ q が 5 のべきである場合を除き、既知のすべての散乱線形集合と PΓL-同型でない。
• 文献[27]で提起された、このような線形集合の新規性に関する未解決問題は、ℒ_h が例外的な場合を除き、新規であることが確認されたことで解決された。
• ℒ_h から得られる MRD 符号 ℂ_{f_h} はパラメータ (6,6,q;5) を持ち、左イデアルライザーが ℱ_{q^6} に同型であり、q が 5 のべきであり h ∈ ℱ_q である場合を除き、これまでに知られていた ℱ_q-線形 MRD 符号と非同型である。
• h ∈ ℱ_{q^2} の場合、線形集合 ℒ_h は [23, 章 7] で知られている既知の族と同型であるが、h ∉ ℱ_{q^2} の場合、それはすべての既知の族から外れる。
• 本稿は [21, 表 1] を拡張し、[10] の族を一般化する可能性がある新しい散乱線形集合の例を提供するが、ℒ_h が三項式によって定義可能かどうかは未解決のままである。