[論文レビュー] A New Framework for Strong Connectivity and 2-Connectivity in Directed Graphs.

Loukas Georgiadis, Giuseppe F. Italiano+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Distributed systems and fault tolerance参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、O(m+n)時間の前処理を経て、有向グラフにおける強連結性および2連結性の最適な最悪ケースクエリを可能にする、O(n)空間の効率的データ構造を提示する。単一の辺または頂点の削除後の強連結成分の報告、数え上げ、サイズ計算をO(n)総時間で行い、2辺/頂点連結性クエリを存在性のテストではO(1)時間、k個の分離辺または頂点の報告ではO(k)時間で処理する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate some basic problems related to the strong connectivity and to the $2$-connectivity of a directed graph, by considering the effect of edge and vertex deletions on its strongly connected components. Let $G$ be a directed graph with $m$ edges and $n$ vertices. We present a collection of $O(n)$-space data structures that, after $O(m+n)$-time preprocessing can accomplish the following tasks: $(i)$ Report in $O(n)$ worst-case time all the strongly connected components obtained after deleting a single edge (resp., a single vertex) in $G$. $(ii)$ Compute the total number of strongly connected components obtained after deleting a single edge (resp., vertex) in total worst-case $O(n)$ time for all edges (resp., for all vertices). $(iii)$ Compute the size of the largest and of the smallest strongly connected components obtained after deleting a single edge (resp., vertex) in total worst-case $O(n)$ time for all edges (resp., for all vertices). All our bounds are tight. After the same $O(m+n)$-time preprocessing, we can also build an $O(n)$-space data structure that can answer in asymptotically optimal time the following basic $2$-edge and $2$-vertex connectivity queries on directed graphs: $(i)$ Test whether an edge or a vertex separates two query vertices in $O(1)$ worst-case time. $(ii)$ Report all edges or all vertices that separate two query vertices in optimal worst-case time. If there are $k>0$ separating edges (resp., separating vertices), then the time is $O(k)$ in the worst case. If there are no separating edges (resp., separating vertices), then the time is $O(1)$ in the worst case.

研究の動機と目的

• 単一の辺や頂点の削除に対して、有向グラフにおける強連結性および2連結性を効率的に維持・クエリする課題に対処すること。
• 単一の削除後の強連結成分の報告、数え上げ、サイズ計算を高速にサポートするデータ構造を開発すること。
• 2辺および2頂点連結性クエリを最適な最悪ケース時間で処理可能にし、クエリペア間の分離辺または頂点のテストおよび報告を可能にすること。
• すべての操作においてタイトな時間および空間バウンドを達成し、理論的に最適な最悪ケース性能を保証すること。

提案手法

• 有向グラフG（m本の辺、n個の頂点）に対してO(m+n)時間の前処理フェーズを経て、O(n)空間のデータ構造を構築する。
• グラフ分解技術を活用し、辺および頂点の削除下での到達可能性および強連結性情報を符号化する。
• パスベースおよびコンポーネント追跡構造を用いて、単一の削除後のコンポーネント変化に関するクエリをO(n)総時間で処理する。
• 到達可能性オラクルおよびコンポーネントラベル付け方式を統合し、2クエリ頂点間を分離する辺または頂点が存在するかをO(1)時間でテスト可能にする。
• 出力に依存する報告メカニズムを設計し、k > 0の場合はk個の分離辺または頂点をO(k)時間で報告し、存在しない場合はO(1)時間で報告する。
• すべてのデータ構造が空間効率的であり、最悪ケース最適なクエリパフォーマンスをサポートすることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフを事前処理することで、単一の辺または頂点を削除した後の強連結成分の報告を効率的に行うことは可能か？
• RQ2 すべての単一辺または単一頂点削除に対して、強連結成分の総数をO(n)総時間で計算することは可能か？
• RQ3 任意の単一辺または単一頂点削除後に形成される最大および最小のコンポーネントのサイズを、すべての辺または頂点に対してO(n)総時間で計算することは可能か？
• RQ4 2辺および2頂点連結性クエリ（存在性のテストおよび分離辺または頂点の報告）を最悪ケース時間で最適に処理することは可能か？

主な発見

• 提案されたデータ構造は、単一の辺または頂点の削除後のすべての強連結成分をO(n)最悪ケース時間で報告可能である。
• 任意の単一辺または単一頂点削除後の強連結成分の総数を、すべての削除に対してO(n)最悪ケース時間で計算可能である。
• 任意の単一辺または単一頂点削除後に形成される最大および最小のコンポーネントのサイズを、すべての辺または頂点に対してO(n)最悪ケース時間で計算可能である。
• データ構造により、有向グラフにおいて2クエリ頂点を分離する辺または頂点が存在するかをO(1)時間でテスト可能である。
• k > 0の場合は2クエリ頂点間のすべての分離辺または頂点をO(k)最悪ケース時間で報告可能であり、存在しない場合はO(1)時間で報告可能である。
• すべての時間および空間バウンドがタイトであり、考察された問題において理論的に最適な最悪ケースパフォーマンスを達成している。