[論文レビュー] A Note on Quantum Geometric Langlands Duality, Gauge Theory, and Quantization of the Moduli Space of Flat Connections

Anton Kapustin|ArXiv.org|Nov 20, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、HitchinのHiggs束のモジュライ空間上のAブレーンの圏を、Montonen-Olive双対性を介して平坦接続のモジュライ空間上のねじれたD加群の圏へ関連づけることで、量子幾何的Langlands双対性をゲージ理論的導出する。量子パラメータがプランク定数の逆数に比例する純虚数である場合に双対性が成り立つことが示され、パラボリック構造を持つ分岐化された場合へも拡張される。

ABSTRACT

Montonen-Olive duality implies that the categories of A-branes on the moduli spaces of Higgs bundles on a Riemann surface C for a pair of Langlands-dual groups are equivalent. We reformulate this as a statement about categories of B-branes on the quantized moduli spaces of flat connections for these groups. We show that it implies the statement of the Quantum Geometric Langlands duality with a purely imaginary ``quantum parameter'' which is proportional to the inverse of the Planck constant of the gauge theory. The ramified version of the story is also considered.

研究の動機と目的

• N=4超対称ゲージ理論とトポロジカルなねじれを用いて、量子幾何的Langlands双対性の物理的導出を提供すること。
• Hitchinモジュライ空間上のAブレーンの圏を、Gℂ-接続のモジュライ空間上のねじれたD加群の圏へ関連づけること。
• 双対性が、プランク定数の逆数に比例する純虚数の量子パラメータを持つ場合に成り立つことを示すこと。
• 表面オペレーターとパラボリック構造を持つ分岐化された場合へ双対性を拡張すること。
• パrameter τとその双対性を介して、B場と複素構造が双対性に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• N=4超対称ゲージ理論のトポロジカルなねじれを用いて、ゲージ群がGおよびL Gである双対なトポロジカル場理論のペアを構成すること。
• パrameter q = θ/2πを介して、Hitchinモジュライ空間MH(G,C)上のAブレーンの圏をBunG(C)上のねじれたD加群の導来圏と同一視すること。
• Montonen-Olive双対性を用いて、MH(G,C)およびMH(L G,C)上のAブレーンの圏を、双対性τ ↔ -1/(n𝔤 τ)およびθ ↔ -1/θの下で関連づけること。
• 点p₁,…,pₛにおける表面オペレーターを導入することで分岐化された場合を実現し、パラボリックHiggs束および局所系のモジュライ空間が得られること。
• パラボリックHiggs束のモジュライ空間上のKähler形式およびB場のコhomology類を、τ、αₖ、およびηₖの言いかえで表すこと。
• 境界観測量の代数を、第一チエーン類がImτ ⋅ (−e ⊕ ⊕αₖ* + i(Imτ)⁻¹ηₖ)に比例するラインバンドル上の正則微分作用素として量子化し、量子パラメータqを導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Montonen-Olive双対性を用いて、ゲージ理論からどのように量子幾何的Langlands双対性を導出できるか？
• RQ2 量子化された平坦接続のモジュライ空間の文脈において、量子パラメータqの物理的解釈は何か？
• RQ3 パラボリック構造および表面オペレーターを持つ分岐化された場合に、双対性はどのように拡張されるか？
• RQ4 B場と複素構造は双対性において果たす役割は何か？また、それらはゲージ理論のパラメータとどのように関係するか？
• RQ5 Gℂ-接続の平坦接続モジュライ空間の量子化は、純虚数の量子パラメータを持つねじれたD加群とどのように関係するか？

主な発見

• 量子パラメータがqL = -1/(n𝔤 q)を満たすとき、BunG(C)上のねじれたD加群の導来圏は、BunL G(C)上のそれと同値であり、n𝔤はディンキン図に応じて1,2,3の値を取る。
• 量子パラメータqはq = θ/2πとして特定され、双対理論ではqL = -1/(n𝔤 q)となり、これは量子領域における純虚数パラメータに対応する。
• 表面オペレーターを伴う分岐化された場合、τとLτがImLτ = 1/(n𝔤 Imτ)の関係にあり、パラボリックパラメータがLαₖ = ηₖおよびLηₖ = -αₖを満たすとき、双対性が成り立つ。
• B場のコhomology類は[B/2π] = (-Reτ) ⊕ ⊕ηₖであり、Kähler形式は[ωI/2π] = e ⊕ (-⊕αₖ*)を満たす。両者とも双対性構造において重要である。
• 境界観測量の代数の量子化は、第一チエーン類がImτ ⋅ (−e ⊕ ⊕(αₖ* + i(Imτ)⁻¹ηₖ))に比例するラインバンドル上の正則微分作用素として実現され、これにより量子パラメータが符号化される。
• 古典的極限（大きなImτ）では幾何的Langlands双対性が回復するが、量子領域では複素数のqを持つ完全なQGL双対性に対応する。