[論文レビュー] A note on the p-adic log-gamma functions

Taekyun Kim|ArXiv.org|Oct 26, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、q-p-整数積分を用いてp-整数 q-対数ガンマ関数のp-整数 q-類似を確立し、q-オイラー数が係数として現れるスターリング型級数展開を導出する。主たる貢献は定理Aであり、p-整数 q-対数ガンマ関数を[x]_q、対数項、およびq-オイラー数E_{n+1,q}で表すもので、古典的対数ガンマ漸近展開をp-整数 q-設定に一般化する。

ABSTRACT

In this paper we prove that q-Euler numbers are occured in the coefficients of some stirling type seies for p-adic analytic q-log gamma function

研究の動機と目的

• p-整数 q-積分を用いて古典的対数ガンマ関数のp-整数 q-類似を構築すること。
• p-整数 q-対数ガンマ関数のスターリング型漸近展開を導出すること。
• この展開の係数におけるq-オイラー数の役割を調査すること。
• q-整数およびq-対数関数を用いて、古典的対数ガンマ漸近公式をp-整数 q-設定に一般化すること。

提案手法

• 関数[x+z]_qおよびlog[x+z]_qを含むℤ_p上でのq-p-整数積分として、p-整数 q-対数ガンマ関数G_{p,q}(x)を定義する。
• フェルミオン的q-p-測度μ_{-q}を用い、I_{-q}(f)を(-q)^xを含む有限和の極限として表現する。
• f_1(x) = f(x+1)であるという性質qI_{-q}(f_1) + I_{-q}(f) = [2]_q f(0)を用いて、G_{p,q}(x)の関数方程式を導出する。
• 恒等式[x+z]_q = [x]_q + q^x[z]_qおよび級数(1+x)log(1+x) = x + ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n+1}/(n(n+1)) x^{n+1}を用いて、[x+z]_q(log[x+z]_q - 1)を展開する。
• q-オイラー多項式E_{m,q}(x)の積分公式を適用し、E_{n,q} = E_{n,q}(0)を評価して係数を抽出する。
• 級数展開とq-積分恒等式を組み合わせることで定理Aを導出し、E_{n+1,q}および[x]_q項を含む閉形式表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的スターリング型展開である対数ガンマ関数のp-整数 q-設定への一般化はどのように可能か？
• RQ2 q-オイラー数はp-整数 q-対数ガンマ関数展開の係数において果たす役割は何か？
• RQ3 q-p-整数積分およびμ_{-q}測度は、対数ガンマ関数のp-整数 q-類似の構築にどのように寄与するか？
• RQ4 p-整数 q-対数ガンマ関数G_{p,q}(x)を支配する関数方程式は何か？
• RQ5 q-対数ガンマ関数は、[x]_q、log[x]_q、およびq-オイラー数を含む級数として表現可能か？

主な発見

• p-整数 q-対数ガンマ関数G_{p,q}(x)は関数方程式qG_{p,q}(x+1) + G_{p,q}(x) = [2]_q ([x]_q (log[x]_q - 1)) を満たす。
• 定理Aは明示的な級数展開を提供する：G_{p,q}(x) = ([x]_q - q^x / [2]_{q^2}) log[x]_q - [x]_q + ∑_{n=1}^∞ [(-q^x)^{n+1} / (n(n+1))] [E_{n+1,q} / [x]_q^n]。
• G_{p,q}(x)のスターリング型級数の係数が明示的にq-オイラー数E_{n+1,q}に等しいことが示された。
• G_{p,q}(x)の式はx ∈ ℂ_p \ ℤ_pに対して有効であり、|1-q|_p < p^{-1/(p-1)}の下でq-p-整数積分の収束に依存する。
• この構成は、古典的対数ガンマ漸近展開をp-整数 q-設定に一般化し、展開における古典的ベルヌーイ数の代わりにq-オイラー数E_{n,q}が現れる。
• 本稿は、q → 1の極限で古典的ケースに還元されるp-整数 q-対数ガンマ関数のp-整数 q-類似を確立した。