[論文レビュー] A notion of graph homeomorphism

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 21被引用数 16

ひとこと要約

本稿は次元とホモトピーに基づくグラフホメオモルフィズムの新しい概念を導入し、次元条件を満たす可縮部分グラフの部分基底によって位相的グラフを定義する。グラフホメオモルフィズムが次元、コhomology、オイラー特性、連結性を保存することを確立し、非ゼロのLefschetz数を持つ任意のグラフホメオモルフィズムが非自明な不変開集合を固定する離散Kakutani不動点定理を証明する。

ABSTRACT

We introduce a notion of graph homeomorphisms which uses the concept of dimension and homotopy for graphs. It preserves the dimension of a subbasis, cohomology and Euler characteristic. Connectivity and homotopy look as in classical topology. The Brouwer-Lefshetz fixed point leads to the following discretiszation of the Kakutani fixed point theorem: any graph homeomorphism T with nonzero Lefschetz number has a nontrivial invariant open set which is fixed by T.

研究の動機と目的

• 有限グラフに古典的な位相的概念を次元とホモトピーを用いて一般化するグラフホメオモルフィズムの概念を定義すること。
• 有限位相空間では開集合がしばしば非連結となるという課題に対処するため、次元に基づく接続条件を満たす可縮部分グラフの部分基底を導入すること。
• 次元、コhomology、オイラー特性、ホモトピー型といった位相的不変量がグラフホメオモルフィズムのもとで保存されることを保証すること。
• Lefschetz数を用いてグラフ理論におけるKakutani不動点定理の離散版を確立すること。
• 組合せ的・位相的構造と整合性を持つグラフ上の位相を定義する構成的枠組みを提供すること。

提案手法

• 次元条件 dim(A ∩ B) ≥ min(dim(A), dim(B)) を満たす可縮部分グラフの部分基底 𝒮 を用いてグラフ位相を定義する。
• 部分基底からナーヴグラフ 𝒢 を構成し、その中で部分グラフ間に次元条件を満たす辺が存在するものとし、𝒢 が元のグラフ G とホモトープであることを要請する。
• 頂点 x における単位球面 S(x) を用い、dim(G) = (1/|V|)∑ₓ(1 + dim(S(x))) でグラフ次元を定義する。ただし dim(∅) = -1 とする。
• 写像 φ が位相的グラフ間で連続であるとは、ナーヴグラフのグラフ準同型であり、すべての A ∈ 𝒮 に対して dim(φ(A)) ≤ dim(A) を満たすことと定義する。
• グラフホメオモルフィズムを、連続な全単射かつ逆写像が連続であり、ナーヴグラフ上で同型を誘導する写像として定義する。
• Lefschetz数を用いて離散不動点定理を導出する：非ゼロのLefschetz数を持つ任意のグラフホメオモルフィズム T は、非自明な不変開集合を固定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元とホモトピーを用いて、次元、コhomology、オイラー特性といった主要な位相的不変量を保存するグラフホメオモルフィズムの概念を定義可能か？
• RQ2 次元を用いて部分基底内の部分グラフ間の接続条件を定義することで、ナーヴグラフが元のグラフとホモトープになるようにできるか？
• RQ3 グラフホメオモルフィズムに対して、Kakutani不動点定理の離散版が成り立つのか、もしそうならどのような条件下で成立するか？
• RQ4 グラフ上の単位球面位相は常に有効なグラフ位相を生成するのか、交差部分の次元が個々の球面の次元を上回る場合に失敗する理由は何か？
• RQ5 グラフホメオモルフィズムのもとで平面性は保存されるか、またこれは部分基底位相と次元制約を用いて特徴付けられるか？

主な発見

• 提案されたグラフホメオモルフィズムは、部分基底の次元、コhomology、オイラー特性を保存し、位相的不変量を保証する。
• 部分基底のナーヴグラフ 𝒢 が元のグラフ G とホモトープであることが要求されるが、これは単に単位球面部分基底だけでは常に満たされない。
• 三角形とイコサヘドロンの両方において、同相なグラフが得られ、次元スペクトル {1,2,1,2,1,3} と位相次元 1.25 を共有する。
• 位相次元（部分基底 A ∈ 𝒮 における dim(A) の平均）と dim(𝒢) は部分基底の選択に依存するが、それに対して内在的グラフ次元 dim(G) はそれとは独立である。
• 離散Kakutani不動点定理が確立された：非ゼロのLefschetz数を持つ任意のグラフホメオモルフィズム T は、非自明な不変開集合を固定する。
• 2つの距離2の球の交差部分が個々の球の次元を上回る場合、単位球面位相は有効なグラフ位相を生成しない。このため、ナーヴグラフにおける次元に基づく接続条件が不可欠となる。