[論文レビュー] A Novel Approach to Extra Dimensions

D. J. Jackson|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2016

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、時間の高次多項式表現に基づく幾何的枠組みを提案し、時空の対称性および素粒子物理学の構造を導出する。多次元時間におけるミンコフスキー計量の立方および高次形式への一般化により、自然にE6、E7、E8の対称性が導かれ、標準模型の主要な特徴——分数電荷を有するクォーク、左右非対称性、3世代のフェルミオン構造——が、時間に基づく対称性の統一的数学的進行から出現する。

ABSTRACT

Four-dimensional spacetime, together with a natural generalisation to extra dimensions, is obtained through an analysis of the structures and symmetries deriving from possible arithmetic expressions for one-dimensional time. On taking the infinitesimal limit this simple one-dimensional structure can be consistently equated with a homogeneous form of arbitrary dimension possessing both spacetime and more general symmetries. An extended 4-dimensional manifold, with the associated spacetime symmetry, provides a natural breaking mechanism for a higher-dimensional form and symmetry of time. It will be described how this symmetry breaking leads to a series of distinct properties of the Standard Model of particle physics, deriving directly from the natural mathematical development of the theory.

研究の動機と目的

• 時間の代数的構造に基づく時空の幾何理論を構築すること。特に、ミンコフスキー計量を高次多項式形式に一般化すること。
• 高次元時間構造における自発的対称性の破れが4次元時空および標準模型のゲージ対称性をどのように導くかを示すこと。
• 例外的リー群（E6、E7、E8）の表現論から直接、標準模型の粒子内容（クォーク、レプトンおよびそれらの量子数）を導出すること。
• 1次元時間から248次元のE8対称性へ至る数学的経路を確立し、全フェルミオンスペクトルおよびCKM混合構造を埋め込むこと。
• 時間に基づく多項式不変量を通じて、電弱対称性の破れ、ヘリシティ、フェルミオンの3世代構造の統一的幾何的起源を提供すること。

提案手法

• 複数変数における立方および高次同次多項式としての固有時間間隔を一般化し、係数が±1または0であるように設定して、無限小時間の流れをモデル化する。
• これらの多項式形式の無限小極限を用いて速度ベクトルを定義し、O(n)や高次例外的リー群などの関連対称性群を導出する。
• 例外的ジョルダン代数h₃(O)およびそのフレーデンタール三重系F(h₃(O))の代数的構造を用いて、27次元および56次元空間におけるE6およびE7対称性を実現する。
• h₃(O)の成分の変換性をE6およびE7部分群に対して用い、スピンダー表現およびゲージ量子数（例：U(1)Q、SU(3)c）を同定する。
• E8対称性をモデル化するため、248次元空間上での5次形式L(v₂₄₈) = 1への枠組みの拡張を試み、標準模型の全フェルミオンおよびそれらの相互作用を1つの248次元表現に統一することを目的とする。
• E8 → E7 → E6への対称性の破れのパターンを用いて、観測された左右非対称性、右巻きニュートリノの抑制、3世代構造を再現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準模型のゲージ群SU(3)c × SU(2)L × U(1)Yは、高次時間多項式に基づく幾何理論から自然に導出可能か？
• RQ2 クォークおよびレプトンの分数電荷は、時間の代数的構造および対称性群から自然にどのように出現するか？
• RQ3 例外的リー群E6、E7、E8は、標準模型のフェルミオン内容および量子数を統一するために果たす役割は何か？
• RQ4 左右非対称性および右巻きニュートリノの抑制は、恣意的な仮定なしに時間に基づく幾何的枠組みから導出可能か？
• RQ5 248次元空間上での5次多項式形式L(v₂₄₈) = 1が、E8対称性の整合的数学的完成を提供し、標準模型の全構造を埋め込むか？

主な発見

• 係数αabc ∈ {−1,0,1}である立方形式ds³ = αabc dxa dxb dxcは、方程式(19)に示すように、自然に9次元空間を導き、U(1)対称性に従って変換する左巻きディラックスピンダーを生成する。
• 27次元の例外的ジョルダン代数h₃(O)上でのE6対称性は、方程式(64)で導出されたように、SU(3)c × U(1)Qに従って変換する4つの左巻きスピンダーを生成し、正しい分数電磁荷を持つ。
• 56次元のフレーデンタール三重系F(h₃(O))上でのE7対称性は、方程式(103)に記載されたように、左右非対称な構造を生成し、右巻きニュートリノを抑制し、電弱対称性の破れの主要な特徴を再現する。
• 理論は、248次元空間上で5次形式L(v₂₄₈) = 1を用いてE8対称性が作用する最終的な構造を予測し、標準模型の全フェルミオンおよびそれらの混合パターンを統一する可能性を示唆する。
• 時間多項式からE6、E7、E8に至る全過程は、恣意的な仮定なしに、単一の幾何的原理から自然に出現する。これは、標準模型の背後にある深い数学的起源を示唆する。
• モデルは、これらの例外的群の表現論を通じて、フェルミオンの3世代構造、CKM混合行列、弱い相互作用のキラル性を再現する。