[論文レビュー] A numerical scheme for impact problems

Lætitia Paoli, Michelle Schatzman|ArXiv.org|Oct 4, 1999

Dynamics and Control of Mechanical SystemsEngineering参考文献 14被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、n自由度の機械的衝突問題を解くための新しい数値スキームを提示する。運動はC³-正則な閉集合K内に制約されている。衝突時刻の明示的検出を避けるために、復元係数e ∈ [0,1] を用いた局所的有限差分法を採用し、事前推定に基づく収束性を証明。連続時間問題に対する解の存在が、局所的および大域的両方の意味で確立される。

ABSTRACT

We consider a mechanical system with impact and n degrees of freedom, written in generalized coordinates. The system is not necessarily Lagrangian. The representative point of the system must remain inside a set of constraints K; the boundary of K is three times differentiable. At impact, the tangential component of the impulsion is conserved, while its normal coordinate is reflected and multiplied by a given coefficient of restitution e between 0 and 1. The orthognality is taken with respect to the natural metric in the space of impulsions. We define a numerical scheme which enables us to approximate the solutions of the Cauchy problem: this is an ad hoc scheme which does not require a systematic search for the times of impact. We prove the convergence of this numerical scheme to a solution, which yields also an existence result. Without any a priori estimates, the convergence and the existence are local; with some a priori estimates, the convergence and the existence are proved on intervals depending exclusively on these estimates. This scheme has been implemented with a trivial and a non trivial mass matrix.

研究の動機と目的

• 衝突時刻の明示的検出を必要としない機械的系のための数値法の開発。
• 一般の散乱力およびC³-正則集合Kによって定義される制約を持つ非ラグランジュ系の取り扱い。
• 連続時間衝突問題の解への数値スキームの収束を確立すること。
• 事前推定とスキーム収束を用いて、局所的および大域的解の存在を証明すること。
• 境界局在化の困難さを、二次誤差を伴う境界の直線化に起因する有限差分スキームにおいて、厳密に扱うこと。

提案手法

• 動力学を一般化座標と質量行列M(u)でモデル化し、境界∂K上での衝撃反力μをλdϕ(u)として表現する。
• 時間方向の有限差分離散化を採用し、境界∂K近傍での局所的再構成を用いて、非滑らか衝突力学を扱う。
• 接線方向の運動量保存と法線方向の運動量反射（復元係数eを用いる）を、余接計量に基づく直交性条件によって実装する。
• 主な革新点は、境界∂K近傍での動力学を近似しつつ、境界の直線化に起因する二次誤差を制御する局所的スキームの使用である。
• 収束証明は、事前推定とコンパクト性の議論に依拠し、離散解列が連続解に収束することを示す。
• 離散速度ノルム |V^m|_{U^m}^2 の推定を用いて、速度ノルムの本質的上限の意味での収束が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 衝突時刻の明示的検出を要しない数値スキームを、衝突問題に対して構築可能か？
• RQ2 境界が曲がっている場合、有限差分法で境界∂Kにおける非滑らか力学をどのように近似できるか？
• RQ3 数値スキームが真の衝突問題の解に収束するための条件は何か？
• RQ4 運動量および位置に関する事前推定が、解の大域的存在に与える影響は何か？
• RQ5 復元係数eは、数値スキームの安定性および収束性において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 数値スキームは連続衝突問題の解に収束し、許容集合内の初期条件に対して解の存在が証明される。
• 事前推定がなければ局所的収束が、事前推定があれば大域的収束が確立される。
• スキームは、離散速度ノルム |V^m|_{U^m}^2 が連続速度ノルムの本質的上限に収束することを意味する意味で収束が証明される。
• 初期運動量とKの幾何構造に依存する時刻τ(R)以降に収束しない場合、矛盾が導かれる。
• 証明は、境界∂K近傍での局在化技術に依拠しており、境界の直線化に起因する二次誤差が推定を用いて厳密に制御される。
• 局所的収束と運動量・位置に関する事前境界の組み合わせにより、解の大域的存在が達成され、τ(R) に依存する時間までスキームを拡張可能となる。