[論文レビュー] A parallel repetition theorem for entangled projection games

Irit Dinur, David Steurer+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、量子状態が関与する射影ゲームにおける並列反復定理を確立し、エンタングルド値が 1−ε であるゲームの k 重反復において、エンタングルド値が O((1−ε^c)^k) の形で指数的に減少することを証明している。ここで c ≥ 1 は普遍的な定数であり、制約グラフが拡張的である場合には c=1 となる。証明では、エンタングルド値の乗法的緩和を導入し、量子相関サンプリング補題を用いて真のエンタングルド値と密接に結びつける。これは古典的手法を量子設定に拡張したものである。

ABSTRACT

We study the behavior of the entangled value of two-player one-round projection games under parallel repetition. We show that for any projection game $G$ of entangled value 1-eps < 1, the value of the $k$-fold repetition of G goes to zero as O((1-eps^c)^k), for some universal constant c\geq 1. Previously parallel repetition with an exponential decay in $k$ was only known for the case of XOR and unique games. To prove the theorem we extend an analytical framework recently introduced by Dinur and Steurer for the study of the classical value of projection games under parallel repetition. Our proof, as theirs, relies on the introduction of a simple relaxation of the entangled value that is perfectly multiplicative. The main technical component of the proof consists in showing that the relaxed value remains tightly connected to the entangled value, thereby establishing the parallel repetition theorem. More generally, we obtain results on the behavior of the entangled value under products of arbitrary (not necessarily identical) projection games. Relating our relaxed value to the entangled value is done by giving an algorithm for converting a relaxed variant of quantum strategies that we call "vector quantum strategy" to a quantum strategy. The algorithm is considerably simpler in case the bipartite distribution of questions in the game has good expansion properties. When this is not the case, rounding relies on a quantum analogue of Holenstein's correlated sampling lemma which may be of independent interest. Our "quantum correlated sampling lemma" generalizes results of van Dam and Hayden on universal embezzlement.

研究の動機と目的

• XOR ゲームや一意的ゲームに対する既知の結果を拡張し、エンタングルド状態を伴う射影ゲームに対する並列反復定理を確立すること。
• 特にその減少率に注目して、独立な繰り返しゲームにおけるエンタングルド値の挙動を分析すること。
• 非通信可能な両者間での近似状態共有を可能にする、Holenstein の相関サンプリング補題の量子版を構築すること。
• 効率的な変換アルゴリズムを用いて、緩和された量子戦略（ベクトル量子戦略）と実際の量子戦略との間のギャップを埋めること。
• 古典的並列反復技術を、エンタングルドゲームに特化した解析的ツールを用いて、量子設定に一般化すること。

提案手法

• 積ゲームにおいて完全に乗法的となるエンタングルド値の緩和を導入すること。
• 解析的取り扱いが可能になるように、量子戦略の緩和版である「ベクトル量子戦略」を定義すること。
• 古典的に記述された近い量子状態を持つ2人の参加者が、局所的に共通のエンタングルド状態を生成できるような、量子相関サンプリング補題を開発すること。
• 量子相関サンプリング補題を用いて、ベクトル量子戦略を誤差が有界な実際の量子戦略に変換すること。
• 制約グラフに強い拡張性がない場合に対処するため、Holenstein の相関サンプリングの量子版を適用すること。
• マーカフの不等式と集中不等式を用いて、緩和値と真のエンタングルド値との間のきめ細やかな関係を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影ゲームのエンタングルド値は、並列反復において指数的に減少するか？ もし減少するならば、その減少率はどのようになるか？
• RQ2 Dinur と Steurer の古典的解析フレームワークを、量子設定に拡張して、このような減少を証明できるか？
• RQ3 一般の射影ゲームに対して、減少上限 O((1−ε^c)^k) の最適な指数 c は何か？
• RQ4 誤差を制御できるように、ベクトル量子戦略を実際の量子戦略に変換する方法は何か？
• RQ5 古典的に記述された近い入力状態から、非通信可能な両者間で共有状態を準備できるような、量子相関サンプリング補題を定式化できるか？

主な発見

• エンタングルド値が 1−ε である射影ゲームの k 重並列反復において、エンタングルド値は O((1−ε^c)^k) の形で減少する。ここで c ≥ 1 は普遍的な定数である。
• 制約グラフが拡張的である場合には、最適な指数 c=1 を達成し、O((1−ε)^k) の減少が得られる。
• エンタングルド値の緩和は、積ゲームにおいて完全に乗法的であるため、積ゲームの解析が可能になる。
• 非通信可能な両者が、初期のエンタングルド資源を用いて、入力状態に近い共通のエンタングルド状態を生成できるような、量子相関サンプリング補題が構築された。
• ベクトル量子戦略から実際の量子戦略への変換は高い確率で成功し、入力状態が δ-近傍にある場合、誤差は O(δ^{1/12}) で有界である。
• マーカフの不等式と集中不等式の新規な応用により、緩和値と真のエンタングルド値との間の高い信頼性での関係が確立された。