[論文レビュー] A polynomial-time algorithm for the ground state of one-dimensional gapped Hamiltonians

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Quantum many-body systems参考文献 31被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、行列積状態（MPS）表現と凸最適化を活用して、1次元のギャップのある局所ハミルトニアンの基底状態を近似する決定的多項式時間アルゴリズムを提示する。主な貢献は、1次元のギャップのある局所ハミルトニアン問題がPに属することを証明し、長年の未解決であった量子計算複雑性理論の問題を解決するとともに、従来の確率的または制限付き（例えば、ほぼフレーストレスフリーな）手法を凌駕することを示している。

ABSTRACT

A (deterministic) polynomial-time algorithm is proposed for approximating the ground state of (general) one-dimensional gapped Hamiltonians. Let $ε,n,η$ be the energy gap, the system size, and the desired precision, respectively. Neglecting $ε$-dependent subpolynomial (in $n$) and constant factors, the running time of the algorithm is $n^{O(1)}$ for $η=n^{-O(1)}$.

研究の動機と目的

• 一般の1次元ハミルトニアンにおいてQMA完全性が知られているにもかかわらず、1次元のギャップのある局所ハミルトニアン問題の計算複雑性を解明すること。
• フレーストレスフリーまたはほぼフレーストレスフリーな場合に限定されない、任意の1次元のギャップのあるハミルトニアンの基底状態を、保証された効率性を有する決定的アルゴリズムで近似すること。
• 収束保証がなく、局所的最小値に陥る可能性があるヒューリスティック手法（例：DMRG）の限界を克服すること。
• 一般の場合でも、有界な結合次元を持つ行列積状態（MPS）として、1次元のギャップのあるハミルトニアンの基底状態を効率的に表現できることを確立すること。
• 最終的な1次元のギャップのあるハミルトニアンを伴う断続的量子計算を、古典的アルゴリズムで多項式時間でシミュレートできることを提供すること。

提案手法

• 1次元のクーディット鎖を対象とした再帰的で動的計画法のアプローチを採用し、1次元のギャップのある系における量子もつれの面積法則を活用して、MPS表現の結合次元を制限する。
• 凸最適化を用いて、部分系における最適な密度行列を計算し、エネルギーを最小化するとともに、縮約密度行列と候補状態との忠実度に関する制約を満たす。
• 各サイトにおける関連するMPS状態の数を削減するための基数削減技術を用い、誤差を制御しつつ多項式的に有界な候補状態（サポート集合）の集合を維持する。
• 見せかけの状態（Witness states）を導入し、低ランク部分空間におけるエネルギー最小化を用いて、真の基底状態に近い低エネルギー状態を同定する。
• 重要な要素として、最適化された密度行列の最大固有値に射影することで得られる切り捨てられた状態（ϕ′_0, ϕ′_1）を用い、効率的な表現を保証する。
• サポート集合を繰り返し精緻化し、スペクトル的性質（例：マーカフの不等式）を用いて候補状態のエネルギーを境界づけることで、収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の1次元のギャップのあるハミルトニアンの基底状態を、決定的多項式時間で近似可能か？
• RQ2 1次元のギャップのある局所ハミルトニアン問題はPに属するか、それとも量子的優位性を必要とするか？
• RQ3 古典的アルゴリズムは、収束保証と実行時間の保証において、DMRGのようなヒューリスティック手法を上回れるか？
• RQ4 定数のスペクトルギャップの存在が、基底状態の多項式的有界なMPS表現を示唆するか？
• RQ5 最終的な1次元のギャップのあるハミルトニアンを伴う断続的量子計算を、古典的に多項式時間でシミュレート可能か？

主な発見

• 定数のスペクトルギャップϵの下で、所望の精度η = n^−O(1) に対して、実行時間がn^O(1) で達成される。
• 基底状態は結合次元D = 2^{Õ(1/ϵ + ϵ^{−1/4} log^{3/4}(n/η))} のMPSによって近似可能であり、効率的な表現が保証される。
• 本アルゴリズムにより、1次元のギャップのある局所ハミルトニアン問題がPに属することを証明し、量子計算複雑性理論における長年の未解決問題を解決した。
• 計算されたMPS Ψ と真の基底状態 Ψ₀ の重なり |⟨Ψ, Ψ₀⟩| が高確率で 1 − η 以上であることが保証される。
• 従来の結果よりも、ほぼフレーストレスフリーまたは可換な場合に限定されない一般の1次元のギャップのあるハミルトニアンに対して有効である点で、改善が図られている。
• 最終的な1次元のギャップのあるハミルトニアンを伴う断続的量子計算は、多項式時間で古典的にシミュレート可能であり、標準的仮定のもとでは、このような系はBQPの普遍性を持たないことを示唆している。