[論文レビュー] A posteriori error estimates for finite element approximations of the Cahn-Hilliard equation and the Hele-Shaw flow

Xiaobing Feng, Haijun Wu|ArXiv.org|Aug 15, 2007

Solidification and crystal growth phenomenaMaterials Science参考文献 40被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、Cahn-Hilliard方程式およびその鋭い界面極限であるHele-Shaw流れに対する有限要素近似の残差型後験的誤差推定を展開する。主な貢献は、$ε^{-1}$ を低次の多項式の次数にしか依存しないロバストな誤差バインディングを確立したことである。これにより、拡散界面を最適収束率で効率的に解像できる効果的な適応型有限要素法が可能になる。

ABSTRACT

This paper develops a posteriori error estimates of residual type for conforming and mixed finite element approximations of the fourth order Cahn-Hilliard equation $u_t+\De\bigl(\eps \De u-\eps^{-1} f(u)\bigr)=0$. It is shown that the {\it a posteriori} error bounds depends on $\eps^{-1}$ only in some low polynomial order, instead of exponential order. Using these a posteriori error estimates, we construct an adaptive algorithm for computing the solution of the Cahn-Hilliard equation and its sharp interface limit, the Hele-Shaw flow. Numerical experiments are presented to show the robustness and effectiveness of the new error estimators and the proposed adaptive algorithm.

研究の動機と目的

• Cahn-Hilliard方程式に適用する従属および混合有限要素法に対する信頼性の高い後験的誤差推定器の開発。
• $\varepsilon^{-1}$ に依存する誤差境界を多項式的次数に限定し、指数的依存を回避すること。
• Cahn-Hilliard方程式およびそのHele-Shaw極限の両方の後験的推定に基づく適応型有限要素アルゴリズムの構築。
• 数値実験を通じて、誤差推定器および適応型アルゴリズムのロバスト性と有効性を示すこと。

提案手法

• Cahn-Hilliard方程式の従属および混合有限要素近似に対する残差型後験的誤差推定の導出。
• 誤差境界が小パラメータ $\varepsilon$ にどのように依存するかを分析し、$\varepsilon^{-1}$ に対して指数的ではなく多項式的なスケーリングであることを示す。
• 後験的誤差指標に基づいてメッシュを局所的に細分化する適応型アルゴリズムを構築し、拡散界面を正確に解像する。
• 誤差推定および適応プロセスにおいて、化学ポテンシャル $w^\varepsilon = -\varepsilon \Delta u^\varepsilon + \varepsilon^{-1}f(u^\varepsilon)$ を重要な量として用いる。
• 小パラメータ $\varepsilon \to 0$ における漸近解析を通じて、Cahn-Hilliard方程式およびその鋭い界面極限（Hele-Shaw流れ）への応用。
• さまざまな初期条件および $\varepsilon$ 値を想定したベンチマーク問題に対して、適応型アルゴリズムを実装・検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cahn-Hilliard方程式の有限要素解に対して、$\varepsilon \to 0$ の際にもロバストな後験的誤差推定器を構築できるか？
• RQ2 誤差境界は $\varepsilon^{-1}$ に対して指数的依存か、それとも多項式的依存のみか？
• RQ3 Cahn-Hilliardモデルにおける薄い拡散界面を効率的に解像できる適応型有限要素法を設計できるか？
• RQ4 解のゼロ等高線に対する適応型手法の収束率はどの程度か？
• RQ5 自由度および精度の観点から、均一なメッシュ細分化と比較して適応型手法はどのように差を示すか？

主な発見

• 後験的誤差推定器は $\varepsilon^{-1}$ に対して多項式的な依存しか示さず、指数的増大を回避し、$\varepsilon$ が小さい場合でもロバスト性を保証する。
• 適応型アルゴリズムは、均一な細分化に比べて自由度を著しく削減しながら、拡散界面を効果的に解像できた。
• テスト1では、ゼロ等高線の収束率が $O(1/\mathcal{N}^2)$ に近く、$\mathcal{N}$ は自由度の数を表す。
• TOL=0.01 の場合、適応型手法は $t=0.01$ で $\mathcal{N}_{0.01} = 12,565$ の自由度を必要とし、一方均一な細分化では約118万自由度が必要となる。
• テスト2では、適応型手法は初期要素数2,520、最小面積 $1.2207 \times 10^{-4}$ を使用したが、均一な細分化では約32,768要素が必要であった。
• テスト3では、適応型手法は初期要素数4,072、最小面積 $3.0518 \times 10^{-5}$ を使用したが、均一な細分化では約131,072要素が必要であった。