[論文レビュー] A proof of N.Takahashi's conjecture for $(\mathbb{P}^2,E)$ and a refined sheaves/Gromov-Witten correspondence

Pierrick Bousseau|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 56被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、滑らかな三次曲線 $E$ を持つ $(\mathbb{P}^2, E)$ の genus-0 最大接触 Gromov-Witten 不変量に関する N. Takahashi の予想を、トロピカル幾何学と導来カテゴリーカラーチェンジを用いた精製された層/Gromov-Witten 対応により証明する。これは、$y = e^{i\hbar}$ の変数変換の下で、$\mathbb{P}^2$ 上の一様次元 Gieseker 半安定層のモジュライ空間のベッチ数が、高(genus) Gromov-Witten 不変量に対応することを示し、相対 Gromov-Witten 理論における新しい整数性機構を提供する。

ABSTRACT

We prove N.Takahashi's conjecture determining the contribution of each contact point in genus-$0$ maximal contact Gromov-Witten theory of $\mathbb{P}^2$ relative to a smooth cubic $E$. This is a new example of a question in Gromov-Witten theory which can be fully solved despite the presence of contracted components and multiple covers. The proof relies on a tropical computation of the Gromov-Witten invariants and on the interpretation of the tropical picture as describing wall-crossing in the derived category of coherent sheaves on $\mathbb{P}^2$, giving a translation of the original Gromov-Witten question into a known statement about Euler characteristics of moduli spaces of one-dimensional Gieseker semistable sheaves on $\mathbb{P}^2$. The same techniques allow us to prove a new sheaves/Gromov-Witten correspondence, relating Betti numbers of moduli spaces of one-dimensional Gieseker semistable sheaves on $\mathbb{P}^2$, or equivalently refined genus-$0$ Gopakumar-Vafa invariants of local $\mathbb{P}^2$, with higher-genus maximal contact Gromov-Witten theory of $(\mathbb{P}^2,E)$. The correspondence involves the non-trivial change of variables $y=e^{i \hbar}$, where $y$ is the refined/cohomological variable on the sheaf side, and $\hbar$ is the genus variable on the Gromov-Witten side. We explain how this correspondence can be heuristically motivated by a combination of mirror symmetry and hyperkähler rotation.

研究の動機と目的

• $(\mathbb{P}^2, E)$ の genus-0 最大接触 Gromov-Witten 不変量における個々の接触点の寄与を特定する N. Takahashi の予想を証明すること。
• $\mathbb{P}^2$ 上の一様次元 Gieseker 半安定層のモジュライ空間のベッチ数と $(\mathbb{P}^2, E)$ の高(genus) Gromov-Witten 不変量との間の精製された対応を確立すること。
• トロピカル Gromov-Witten 不変量が $\mathbb{P}^2$ 上の coherent sheaves の導来カテゴリにおける wall-crossing としてどのように記述されるかを解釈すること。
• 超ケーラー回転と鏡像対称性によるヒューリスティックな説明を通じて、ホロモーフィック曲線と $D^b_c(K_{\mathbb{P}^2})$ 内の $t$-安定対象との対応を説明すること。

提案手法

• 整数アフィン多様体上の散乱図を用いて、トロピカル幾何学により genus-0 Gromov-Witten 不変量を計算すること。
• 散乱図 $S(\mathfrak{D}^{\mathrm{in}}_{\operatorname{cl}^+})$ の垂直線が $\mathbb{P}^2$ 上の一様次元 Gieseker 半安定層のモジュライ空間に対応することを同定すること。
• 局所相対 Gromov-Witten 対応を用いて、$(\mathbb{P}^2, E)$ の不変量を局所 $\mathbb{P}^2$ カラビ＝ヤウ 3-fold $K_{\mathbb{P}^2}$ の不変量と関連付けること。
• 層側に $y$ 変数、Gromov-Witten 側に $\hbar$ 変数を導入し、$y = e^{i\hbar}$ の下で対応を精製すること。
• 導来カテゴリーカラーチェンジを用いて、Gromov-Witten 不変量を層のモジュライ空間のオイラー標数に翻訳すること。
• 超ケーラー回転と鏡像対称性によるヒューリスティックな正当化を用い、$Y_t$ 内の特別なラグランジュ部分多様体を $D^b_c(K_{\mathbb{P}^2})$ 内の $t$-安定対象と結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\mathbb{P}^2, E)$ の genus-0 最大接触 Gromov-Witten 不変量における各接触点の寄与は何か？
• RQ2 $\mathbb{P}^2$ 上の一様次元層のモジュライ空間のベッチ数と $(\mathbb{P}^2, E)$ の高(genus) Gromov-Witten 不変量との間で、精製された対応を確立できるか？
• RQ3 トロピカル幾何学は、$\mathbb{P}^2$ 上の coherent sheaves の導来カテゴリにおける wall-crossing をどのようにエンコードするか？
• RQ4 なぜ $y = e^{i\hbar}$ の変数変換が、精製された層の数え上げと高(genus) Gromov-Witten 不変量を結びつけるのか？
• RQ5 ホロモーフィック曲線と $D^b_c(K_{\mathbb{P}^2})$ 内の安定対象との間の対応の幾何学的・カテゴリカルなメカニズムは何か？

主な発見

• 本稿は N. Takahashi の予想を証明し、$(\mathbb{P}^2, E)$ の genus-0 最大接触 Gromov-Witten 不変量における各接触点の寄与を完全に特定した。
• 精製された層/Gromov-Witten 対応を確立した：$\mathbb{P}^2$ 上の一様次元 Gieseker 半安定層のモジュライ空間のベッチ数は、$y = e^{i\hbar}$ の変数変換の下で、$(\mathbb{P}^2, E)$ の高(genus) Gromov-Witten 不変量と一致する。
• genus-0 Gromov-Witten 不変量 $N_{0,d}^{\mathbb{P}^2/E}$ は、$N_{0,d}^{\mathbb{P}^2/E} = (-1)^{d-1}3d N_{0,d}^{K_{\mathbb{P}^2}}$ を満たす。
• トロピカル散乱図 $S(\mathfrak{D}^{\mathrm{in}}_{\operatorname{cl}^+})$ は、垂直線を通じて Gromov-Witten 不変量と層のモジュライ空間のオイラー標数の両方をエンコードしている。
• 超ケーラー回転と鏡像対称性によるヒューリスティックな根拠により、ホロモーフィック曲線と $D^b_c(K_{\mathbb{P}^2})$ 内の安定対象との対応が裏付けられている。
• 精製された対応は高(genus) 不変量へと拡張され、$y = e^{i\hbar}$ 変換を通じて、非埋め込み曲線と層のモジュライの間の整合性を提供する仮想的数え上げ機構を提供する。