[論文レビュー] Special Lagrangian submanifolds of log Calabi-Yau manifolds

Tristan C. Collins, Adam Jacob+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 76被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$Y$ がデル ペッツォまたは有理的楕円的表面で、$D$ が滑らかな反標準的除集合であるような対数カルビィ・ヤウ多様体 $X = Y \setminus D$ において、無限個の互いに交わらない特別ラグランジュ部分多様体が存在することを確立する。ティアン＝ヨウのリッチ平坦計量とSYZ鏡像対称性を用いて、境界 $D$ が特別ラグランジュを含むならば、$X$ は双子の特別ラグランジュファイブレーションを持つことを証明し、ストロミンガー＝ヤウ＝ザスローフの予想とオーロウの予想（複素次元2の場合）を裏付ける。

ABSTRACT

We study the existence of special Lagrangian submanifolds of log Calabi-Yau manifolds equipped with the complete Ricci-flat Kähler metric constructed by Tian-Yau. We prove that if $X$ is a Tian-Yau manifold, and if the compact Calabi-Yau manifold at infinty admits a single special Lagrangian, then $X$ admits infinitely many disjoint special Lagrangians. In complex dimension $2$, we prove that if $Y$ is a del Pezzo surface, or a rational elliptic surface, and $D\in |-K_{Y}|$ is a smooth divisor with $D^2=d$, then $X= Y\backslash D$ admits a special Lagrangian torus fibration, as conjectured by Strominger-Yau-Zaslow and Auroux. In fact, we show that $X$ admits twin special Lagrangian fibrations, confirming a prediction of Leung-Yau. In the special case that $Y$ is a rational elliptic surface, or $Y= \mathbb{P}^2$ we identify the singular fibers for generic data, thereby confirming two conjectures of Auroux. Finally, we prove that after a hyper-Kähler rotation, $X$ can be compactified to the complement of a Kodaira type $I_{d}$ fiber appearing as a singular fiber in a rational elliptic surface $\checkπ: \check{Y} ightarrow \mathbb{P}^1$.

研究の動機と目的

• 境界 $D$ が特別ラグランジュを含むとき、対数カルビィ・ヤウ多様体 $X = Y \setminus D$ に無限個の互いに交わらない特別ラグランジュ部分多様体が存在することを証明すること。
• 複素次元2における $X$ に対して、ストロミンガー＝ヤウ＝ザスローフの特別ラグランジュトーラスファイブレーションに関する予想を検証すること。
• 有理的楕円的表面および $\mathbb{P}^2$ に対して、$X$ に双子の特別ラグランジュファイブレーションが存在することを確認すること。
• 一般的なデータに対して、これらのファイブレーションの特異ファイバーを同定し、オーロウの2つの追加の予想を検証すること。
• ヘッカー・ケーラー回転を経て、$X$ が有理的楕円的表面におけるコダイラ型 $I_d$ ファイバーの補集合にコンパクト化されることを示すこと。

提案手法

• ティアンとヨウによって構成された $X = Y \setminus D$ 上の完全なリッチ平坦ケーラー計量を用いる。
• SYZ予想を適用：$X$ 上の特別ラグランジュファイブレーションは、境界 $D$ 上の $T$-双対性から生じる。
• ヘッカー・ケーラー回転を用いて、$X$ を特異な $I_d$ ファイバーを持つコンパクト化された有理的楕円的表面と関連付ける。
• 境界 $D$ に1つの特別ラグランジュが存在することを根拠に、$S^1$ との位相的直積によって、$X$ 内に可算無限個の互いに交わらない特別ラグランジュ部分多様体を生成する。
• 非平坦な背景における平均曲率流れの滑らかさ推定を適用して、幾何的発展を制御する。
• グロス＝シーベルト計画およびトロピカル幾何学の結果を活用して、対数カルビィ・ヤウ設定における鏡像対称性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数カルビィ・ヤウ多様体 $X = Y \setminus D$ の境界 $D$ に1つの特別ラグランジュが存在するならば、$X$ に無限個の互いに交わらない特別ラグランジュ部分多様体が存在するか？
• RQ2 $Y$ がデル ペッツォまたは有理的楕円的表面で、$D$ が滑らかな反標準的除集合であるとき、$X = Y \setminus D$ は特別ラグランジュトーラスファイブレーションを有するか？
• RQ3 リーングとヤウが予測したように、$X$ に双子の特別ラグランジュファイブレーションが存在するか？
• RQ4 $Y = \mathbb{P}^2$ または $Y$ が有理的楕円的表面であるとき、ファイブレーションの特異ファイバーは何か？
• RQ5 ヘッカー・ケーラー回転を経て、$X$ は有理的楕円的表面におけるコダイラ型 $I_d$ ファイバーの補集合にコンパクト化可能か？

主な発見

• コンパクトなカルビィ・ヤウ多様体 $D$ が滑らかで、自己交叉を許す特別ラグランジュを含むならば、$X = Y \setminus D$ は、$L \times S^1$ に微分同相な、可算無限個の互いに交わらない自己交叉を許す特別ラグランジュ部分多様体の族を含む。
• $Y$ がデル ペッツォ表面または有理的楕円的表面で、$D \in |-K_Y|$ が滑らかで $D^2 = d$ であるとき、$X$ は特別ラグランジュトーラスファイブレーションを有し、複素次元2におけるSYZ予想を裏付ける。
• 多様体 $X$ は双子の特別ラグランジュファイブレーションを有し、リーングとヤウの予想を確認する。
• $Y = \mathbb{P}^2$ または有理的楕円的表面の場合、ファイブレーションの特異ファイバーは一般的なデータに対してコダイラ型 $I_d$ であることが同定され、オーロウの2つの予想を裏付ける。
• ヘッカー・ケーラー回転を経て、$X$ は有理的楕円的表面 $\check{Y} \to \mathbb{P}^1$ におけるコダイラ型 $I_d$ ファイバーの補集合にコンパクト化され、鏡像の幾何的実現が得られる。