[論文レビュー] A quenched invariance principle for non-elliptic random walk in i.i.d. balanced random environment

Noam Berger, Jean‐Dominique Deuschel|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ℤᵈ 上の非楕円的、i.i.d. でバランスの取れた確率ウォークに対して、クエンチド不変原理を確立する。これにより、拡散スケーリングされたパスが弱収束して、確定的かつ非退化な拡散行列をもつブラウン運動に収束することを証明する。証明は、最大不等式やハーナック型推定を含む解析的手法と、一様楕円性の欠如に対処するための確率的透過（percolation）的議論を組み合わせている。

ABSTRACT

We consider a random walk on Z^d in an i.i.d. balanced random environment, that is a random walk for which the probability to jump from x to nearest neighbor x+e is the same as to nearest neighbor x-e. Assuming that the environment is genuinely d-dimensional and balanced we show a quenched invariance principle: for P almost every environment, the diffusive rescaled random walk converges to a Brownian motion with deterministic non-degenerate diffusion matrix. Within the i.i.d. setting, our result extend both Lawler's uniformly elliptic result and Guo and Zeitouni's elliptic result to the general (non elliptic) case. Our proof is based on analytic methods and percolation arguments.

研究の動機と目的

• ℤᵈ 上の非楕円的、i.i.d. でバランスの取れた確率環境におけるクエンチド不変原理を確立すること。
• 従来の結果が一様楕円的または楕円的設定に限られていたのを、楕円性の仮定を超えて拡張すること。
• ほとんどすべての環境に対して、拡散スケーリングされたウォークが確定的かつ非退化な共分散行列をもつブラウン運動に弱収束することを証明すること。
• 遷移確率がゼロとなる可能性がある状況でも効果を発揮する解析的ツールを開発し、従来の楕円性に基づく手法の限界を乗り越えること。

提案手法

• ハーモニック関数に類似した関数の大きさを制御するため、確率ウォークの生成作用素に対する最大不等式の使用。
• 非楕円的設定における離散的ハーモニック関数に対するハーナック型不等式および平均値不等式の適用。
• 球体 Bₙ を内部領域（B₁,ₙ）と境界に隣接する領域（B₂,ₙ）に分割し、それぞれの領域で異なるスケーリング・ルールを別々に取り扱う。
• ウォルドの補題を用いて、ある集合からの抜ける期待時間を遷移確率の和に結びつける。これにより、生成作用素の作用を制御できる。
• ホルダーの不等式および大数の法則を用いて、大きな領域における Lᵖ 空間上での主要関数のノルムを評価する。
• グォーとジータウンイ（2012）およびローラー（1986）の手法を、透過および解析的推定を用いて非楕円的環境へと適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環境が非楕円的（すなわち、遷移確率がゼロとなる可能性がある）場合、ℤᵈ 上の i.i.d. でバランスの取れた確率ウォークに対してクエンチド不変原理は成立するか？
• RQ2 一様楕円的状況で用いられた手法は、バランスの取れた環境かつ真に d 次元の条件のもとで非楕円的状況へと拡張可能か？
• RQ3 楕円性が成立しなくなった場合でも、ハーモニック関数およびウォークの生成作用素の振る舞いを制御するために十分な解析的ツールは何か？
• RQ4 i.i.d. でバランスの取れた環境、かつ真に d 次元の仮定のもとで、極限の拡散行列は確定的かつ非退化か？
• RQ5 クエンチド不変原理は、有限範囲または近接項以外のウォークを含むバランスの取れた環境へと拡張可能か？

主な発見

• i.i.d. でバランスの取れた、真に d 次元の確率ウォークに対して、クエンチド不変原理は一様楕円性がなくても成立する。
• P-ほとんどすべての環境に対して、拡散スケーリングされたパスは、確定的かつ非退化な対角共分散行列をもつブラウン運動に弱収束する。
• 証明は、関数の上界ノルムを生成作用素の重み付き Lᵖ ノルムによって制御する、離散的生成作用素 Lₙ^(ω) に対する最大不等式を確立する。
• 主な推定は、ホルダーの不等式および大数の法則を用いて生成作用素の作用を評価し、大きな N に対して、出口時間ノルムの Lᵖ 空間における一様な有界性を得る。
• 結果は、同じ生成作用素から得られる時間連続的バランスの取れた RWRE に対しても拡張可能である。これは、大数の法則のもとで時間スケールが同等であるためである。
• 本手法は、有限範囲のバランスの取れた環境への拡張も可能であるが、本稿ではその一般化は証明されていない。