[論文レビュー] A robust multi-dimensional sparse Fourier transform in the continuous setting.

Yaonan Jin, Daogao Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 58被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多次元連続スパースフーリエ変換のための確率的で非適応的なアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、部分線形なサンプルおよび時間計算量を実現する。本研究では、高次元連続信号に特化した新たなフィルタ設計、順列ハッシュ化方式、周波数局在化技術を導入することで、従来の一様次元連続手法に比べて、より優れたサンプル時間長の上限を達成する。

ABSTRACT

Sparse Fourier transform (Sparse FT) is the problem of learning an unknown signal, whose frequency spectrum is dominated by a small amount of $k$ individual frequencies, through fast algorithms that use as few samples as possible in the time domain. The last two decades have seen an extensive study on such problems, either in the one-/multi-dimensional discrete setting [Hassanieh, Indyk, Katabi, and Price STOC'12; Kapralov STOC'16] or in the one-dimensional continuous setting [Price and Song FOCS'15]. Despite this rich literature, the most general multi-dimensional continuous case remains mysterious. This paper initiates the study on the Sparse FT problem in the multi-dimensional continuous setting. Our main result is a randomized non-adaptive algorithm that uses sublinear samples and runs in sublinear time. In particular, the sample duration bound required by our algorithm gives a non-trivial improvement over [Price and Song FOCS'15], which studies the same problem in the one-dimensional continuous setting. The dimensionality in the continuous setting, different from both the discrete cases and the one-dimensional continuous case, turns out to incur many new challenges. To overcome these issues, we develop a number of new techniques for constructing the filter functions, designing the permutation-then-hashing schemes, sampling the Fourier measurements, and locating the frequencies. We believe these techniques can find their applications in the future studies on the Sparse FT problem.

研究の動機と目的

• 多次元連続スパースフーリエ変換問題に対する効率的なアルゴリズムの欠如に対処すること。
• 最小限の時間領域サンプルを用いて、非適応的かつ部分線形時間で動作するアルゴリズムを開発すること。
• 離散的または一様次元のケースとは異なり、連続設定における次元性の増加によって生じる新たな課題に直面すること。
• 従来の一様次元連続スパースFT手法からのサンプル時間長の上限を改善すること。
• 将来の連続的多次元スパースFT分野における研究に応用可能な基盤技術を確立すること。

提案手法

• 多次元連続信号における主要周波数を分離するために、新規のフィルタ関数を設計する。
• 高エネルギー周波数成分を効率的にマッピングおよび検出するために、順列処理後にハッシュ化する方式を開発する。
• 時間領域のサンプル数を削減するために、構造的かつ確率的なサンプリング戦略を用いてフーリエ測定値をサンプリングする。
• ノイズ混在またはスパースな測定値から、k個の主要周波数を正確に特定する周波数局在化手順を採用する。
• これらの要素を統合し、部分線形時間および部分線形サンプル計算量で動作する非適応的アルゴリズムを構築する。
• フーリエ集中およびスペクトルスパarsityの数学的解析を活用して、アルゴリズムのロバスト性と正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元連続スパースフーリエ変換に対して、部分線形時間かつ非適応的アルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ2 連続設定における次元性は、離散的または一様次元のケースに存在しない独自の課題をどのように引き起こすか？
• RQ3 従来の一様次元連続手法に比べて、より優れたサンプル時間長の上限を達成するための、どのようなサンプリングおよびフィルタ戦略が有効か？
• RQ4 最小限の時間領域サンプルで、高次元連続信号においてもロバストな周波数局在化を達成できるか？
• RQ5 多次元連続信号のスペクトル構造を処理するために、どのような新しいアルゴリズム的技術が必要か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、多次元連続スパースフーリエ変換において部分線形時間および部分線形サンプル計算量を達成する。
• PriceとSong（FOCS'15）の1次元連続手法に比べて、サンプル時間長の上限において非自明な改善を達成する。
• アルゴリズムは非適応的である。つまり、すべてのサンプリング意思決定がフィードバックなしに事前に決定される。
• 多次元連続スペクトルの複雑性に対処するため、フィルタ設計および順列ハッシュ化の新技術が導入される。
• 最小限の時間領域サンプルを用いて、k個の主要周波数を高い確率で正確に回復可能である。
• このフレームワークは、今後の連続的多次元スパースフーリエ解析分野における研究の基盤を確立する。