[論文レビュー] A short survey on Lyapunov dimension for finite dimensional dynamical systems in Euclidean space

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Chaos control and synchronization参考文献 80被引用数 3

ひとこと要約

本調査は、ユークリッド空間内の有限次元力学系におけるリャプノフ次元理論について、きめ細やかでアクセス可能な統合的概説を提供する。カプラン＝ヨーク、ダウディ＝オステラ、コンスタンティンら、レオンコフの基礎的研究を結びつける。直接リャプノフ法を用いたリャプノフ次元の推定のための解析的手法を提示し、ローレンツ系や隠れた吸引子を有する一般化ローレンツ系を含む代表的な系について、正確な公式を導出。MATLABを用いた数値計算による結果の検証を実施。

ABSTRACT

Nowadays there are a number of surveys and theoretical works devoted to the Lyapunov exponents and Lyapunov dimension, however most of them are devoted to infinite dimensional systems or rely on special ergodic properties of the system. At the same time the provided illustrative examples are often finite dimensional systems and the rigorous proof of their ergodic properties can be a difficult task. Also the Lyapunov exponents and Lyapunov dimension have become so widespread and common that they are often used without references to the rigorous definitions or pioneering works. The survey is devoted to the finite dimensional dynamical systems in Euclidean space and its aim is to explain, in a simple but rigorous way, the connection between the key works in the area: by Kaplan and Yorke (the concept of Lyapunov dimension, 1979), Douady and Oesterle (estimation of Hausdorff dimension via the Lyapunov dimension of maps, 1980), Constantin, Eden, Foias, and Temam (estimation of Hausdorff dimension via the Lyapunov exponents and dimension of dynamical systems, 1985-90), Leonov (estimation of the Lyapunov dimension via the direct Lyapunov method, 1991), and numerical methods for the computation of Lyapunov exponents and Lyapunov dimension. In this survey a concise overview of the classical results is presented, various definitions of Lyapunov exponents and Lyapunov dimension are discussed. An effective analytical method for the estimation of Lyapunov dimension is presented, its application to the self-excited and hidden attractors of well-known dynamical systems is demonstrated, and analytical formulas of exact Lyapunov dimension are obtained.

研究の動機と目的

• 有限次元系のリャプノフ次元およびリャプノフ指数の理論的基盤を明確化し、統一すること。
• カプラン＝ヨーク（1979）、ダウディ＝オステラ（1980）、コンスタンティンら（1985–90）、レオンコフ（1991）の主な貢献を一貫した枠組みで統合すること。
• 直接リャプノフ法を用いたリャプノフ次元の推定に効果的な解析的手法を提示すること。
• 自己励起および隠れた吸引子を有する代表的力学系における正確なリャプノフ次元の解析的公式を導出すること。
• 有限時間リャプノフ指数およびリャプノフ次元を計算するための実用的なMATLAB実装を提供し、ベンチマーク系での検証を実施すること。

提案手法

• 写像のヤコビ行列と特異値関数を介して、ハウスドルフ次元とリャプノフ次元の関係を確立する。
• ドゥアディ＝オステラの定理を適用し、有限時間リャプノフ指数にカプラン＝ヨークの公式を適用する理論的根拠を提示する。
• 直接リャプノフ法を用いて、エルゴード理論に依存しないリャプノフ次元の解析的推定を導出する。
• 変分方程式と基本行列のQR／SVD分解を用いて、MATLABで有限時間リャプノフ指数を計算する数値アルゴリズムを実装する。
• 積行列のSVDアルゴリズムを用い、反復的に基本行列を更新し、特異値の対数的成長率からリャプノフ指数を計算する。
• ソート済みの有限時間リャプノフ指数にカプラン＝ヨークの公式を適用し、リャプノフ次元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元力学系におけるリャプノフ次元を厳密に定義し、ハウスドルフ次元とどのように結びつけることができるか。
• RQ2 有限時間リャプノフ指数にカプラン＝ヨークの公式を適用する理論的根拠は何か。
• RQ3 ローレンツ系や一般化ローレンツ系などの代表的系に対して、正確なリャプノフ次元の解析的公式を導出できるか。
• RQ4 直接リャプノフ法は、系のエルゴード性や統計的性質を仮定せずに、リャプノフ次元の推定を可能にするか。
• RQ5 MATLABベースのアルゴリズムを用いたリャプノフ指数および次元の数値計算の正確性と信頼性はいかほどか。

主な発見

• 本調査は、有限次元系における吸引子のハウスドルフ次元の上界としてリャプノフ次元が成立することを確立した。
• パラメータ r=700, σ=4, b=1, a=0.0052 の一般化ローレンツ系では、リャプノフ指数が約 1.873, 0.000, -11.873 であり、リャプノフ次元は 2.158 となった。
• ヘンン・写像、ローレンツ系、グルフコフスキー＝ドルジャンスキー系、チガン・ヤン系、シムイズ＝モリオカ系に対して、正確なリャプノフ次元の解析的公式が導出された。
• 直接リャプノフ法により、系のエルゴード性や統計的性質を仮定せず、リャプノフ次元の厳密な推定が可能となった。
• MATLABでの数値実装により、有限時間リャプノフ指数および次元が正しく計算され、長時間積分による収束が確認された。
• リャプノフ次元が微分同相写像のもとで不変であることが確認され、幾何的不変量としての信頼性が裏付けられた。