[論文レビュー] A solvable two-dimensional singular stochastic control problem with non convex costs

Tiziano De Angelis, Giorgio Ferrari+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動によるスポット価格を想定した電力貯蔵の文脈で動機付けられた、非凸コストを伴う2次元特異確率制御問題に対する完全な解析的解を提供する。価値関数、最適制御、および自由境界の明示的表現が導出され、一定部分における滑らかな適合を満たす2つの単調で不連続な反発境界を特徴としており、終端コストと有限容量制約下での最適バッテリー充電の完全な特徴付けがなされている。

ABSTRACT

In this paper we provide a complete theoretical analysis of a two-dimensional degenerate non convex singular stochastic control problem. The optimisation is motivated by a storage-consumption model in an electricity market, and features a stochastic real-valued spot price modelled by Brownian motion. We find analytical expressions for the value function, the optimal control and the boundaries of the action and inaction regions. The optimal policy is characterised in terms of two monotone and discontinuous repelling free boundaries, although part of one boundary is constant and the smooth fit condition holds there.

研究の動機と目的

• 非凸コストを伴う2次元非退化特異確率制御問題に対する完全な理論的解を提供すること。
• ブラウン運動でモデル化された確率的スポット価格を有する電力市場における最適バッテリー充電戦略を分析すること。
• 価値関数、最適制御、および行動領域と非行動領域の境界を解析的に特徴付けること。
• 先行研究におけるOrnstein-Uhlenbeck動的下での未解決事例を、ブラウン運動下で解くことにより解決すること。
• 非凸コストフレームワーク下における自由境界の構造、特に不連続性と滑らかな適合条件の特定を行うこと。

提案手法

• ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を用いて、状態に依存する勾配制約を伴う有限燃料特異確率制御問題として問題を定式化する。
• スポット価格を1次元ブラウン運動としてモデル化し、負の値を許容することで現実の電力市場のダイナミクスを反映する。
• 最適制御を、1つの一定境界と1つの不連続境界を持つ2つの自由境界を用いた特異制御として特定する。一定部分では滑らかな適合が成立する。
• 非凸性を反映するため、d.c.（凸関数の差）コスト関数 functional を用いた変分的定式化を採用する。
• 粘性解アプローチを用い、非行動領域、行動領域、終端制御領域という異なる領域における価値関数の明示的構成を組み合わせる。
• ラプラス変換および逆ラプラス変換を用いた変換により、特殊関数および境界パラメータを用いた価値関数およびその微分の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸コストおよびブラウン運動価格ダイナミクスを伴う2次元特異確率制御問題における最適制御方策の構造は何か？
• RQ2 行動領域と非行動領域の自由境界はどのように振る舞い、滑らかな適合条件が成立する条件は何か？
• RQ3 この非凸問題において、価値関数および最適制御を閉形式で明示的に特徴付けることは可能か？
• RQ4 コスト関数の非凸性は、特異確率制御と最適停止問題との間の関係にどのように影響を与えるか？
• RQ5 有限バッテリー容量制約は、最適充電戦略および境界構造にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 価値関数は、非行動領域、行動領域、終端制御領域で異なる式を持つ区分的関数として明示的に特徴付けられる。
• 最適制御は、1つの一定境界と1つの不連続境界を持つ2つの自由境界を介して実装され、後者は単調かつ反発的である。
• 滑らかな適合条件は一定境界部分で成立し、価値関数の微分が制御の限界コストと一致する。
• 自由境界は、逆ラプラス変換および特殊関数を含む非線形方程式系の解として決定され、初期在庫レベル $ c $ に明示的な依存関係を示す。
• この解は、コスト関数のd.c.構造が複雑な境界行動を引き起こし、特定のパrameter範囲でのみ最適停止問題と関連することを確認する。
• 制御が拡散と直交するため、問題は非退化であることが分析により確認され、この構造的課題にもかかわらず解は有効である。