[論文レビュー] A spectral sequence for symplectic homology

Mark McLean|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Lefschetzファイブレーションのシンプレクティックホモロジーに収束するスペクトル系列を構成する。E¹頁はモノドロミー同一形のFloerホモロジーおよびその反復と関係している。主な結果として、シンプレクティックホモロジーと同一形のFloerホモロジーの間の橋渡しを確立し、固定点の障害やシンプレクティックトポロジーへの応用を可能にする。長完全系列やFloerホモロジー群への群作用を用いる。

ABSTRACT

We construct a spectral sequence converging to symplectic homology of a Lefschetz fibration whose E1 page is related to Floer homology of the monodromy symplectomorphism and its iterates. We use this to show the existence of fixed points of certain symplectomorphisms.

研究の動機と目的

• Lefschetzファイブレーションのシンプレクティックホモロジーをそのモノドロミー同一形のFloerホモロジーと関連付けること。
• モノドロミー写像の反復Floerホモロジー群を符号化するE¹頁を有するスペクトル系列を構成すること。
• このスペクトル系列を用いて、同一形の下での固定点の存在に対する新たな障害を導出すること。
• 長完全系列およびFloerホモロジー群への群作用を通じて、異なるFloerホモロジー群の間の構造的関係を確立すること。
• モノドロミーの力学を用いたシンプレクティックホモロジーの計算ツールを提供すること。

提案手法

• Lefschetzファイブレーション $\pi: E \to \mathbb{C}$ が1つの正の端を持つとき、そのシンプレクティックホモロジー $SH_*(\widehat{M})$ に収束するスペクトル系列を構成する。
• E¹頁を、$\phi^k$ の固定点（$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$-軌道を modulo で除いたもの）によって生成されるFloerホモロジー群 $HF_*(\phi, k)$ を用いて定義する。
• コラール近傍とLiouville多様体の完成を用いて、シリンダーライクな端の構造を定義し、$[1,\infty) \times \partial F$ 上で $\lambda = r\alpha$ となるように保証する。
• Floer軌道の最小値原理を適用し、正則なファイバーの外に留まる解は、常にシリンダーライクな端に留まることを示し、横断性とコンパクトネスを保証する。
• $HF_*(\phi^k, 1)$ に $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$-作用 $\Gamma$ を定義し、係数体の特性が 0 または $p \nmid k$ の条件下で $HF_*(\phi, k) \cong HF_*(\phi^k, 1)^\Gamma$ を示す。
• Gysin系列に類似した、$HF^*(\phi)$, $HF_*(\phi,1)$, および $HF^{*-1}(\phi)$ を関係付ける長完全系列を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lefschetzファイブレーションのシンプレクティックホモロジーは、そのモノドロミー同一形のFloerホモロジーとどのように関連付けることができるか？
• RQ2 モノドロミーの反復的ダイナミクスと全空間のシンプレクティックホモロジーを結ぶスペクトル系列の構造は何か？
• RQ3 このスペクトル系列を用いて、同一形の固定点の存在に対する新たな障害を導出できるか？
• RQ4 $HF_*(\phi,k)$ と $HF_*(\phi^k,1)$ の間の群作用下での正確な関係は何か？
• RQ5 Floerホモロジー群間の長完全系列は、モノドロミーのトポロジーをどのように反映するか？

主な発見

• スペクトル系列は $SH_*(\widehat{M})$ に収束し、$E^1_{0,q} = H^{n-q}(M)$ および $p > 1$ のとき $E^1_{p,q} = HF_{q-p}(\phi,p)$、それ以外は 0 である。
• 自明なファイブレーション $\widehat{F} \times \mathbb{C}$ に対して、スペクトル系列は最初の頁で退化し、$SH_*(\widehat{F} \times \mathbb{C}) = 0$ を意味する。
• $HF_*(\phi^k,1)$ に $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$-作用 $\Gamma$ が存在し、係数体の特性が 0 または $p \nmid k$ のとき $HF_*(\phi,k) \cong HF_*(\phi^k,1)^\Gamma$ が成り立つ。
• 長完全系列により $HF^*(\phi)$, $HF_*(\phi,1)$, および $HF^{*-1}(\phi)$ が関係付けられ、コhomological および homological Floer理論の間の構造的リンクを提供する。
• スペクトル系列は、モノドロミー写像の力学を用いたシンプレクティックホモロジーの計算フレームワークを提供する。
• 最小値原理により、シリンダーライクな端の軌道間を結ぶFloer軌道は、その領域に留まることが保証され、横断性とコンパクトネスの構成を支援する。