[論文レビュー] A study on new computational local orders of convergence

Miquel Grau-Sánchez, Miquel Noguera+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、1点反復法のメモリ付きに対して、正確な根を必要とせずに収束速度の推定が可能な4つの新しい計算的局所収束順序（CLOC、ACLOC、ECLOC、PCLOC）を導入する。ECLOCはアイトケンの補外法に基づくが、理論的収束順序の最も正確な近似を提供し、適応的多倍長精度算術を用いた数値実験でも他の手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

Four new variants of the Computational Order of Convergence (COC) of a one-point iterative method with memory for solving nonlinear equations are presented. Furthermore, the way to approximate the new variants to the local order of convergence is analyzed. Three of the new definitions given here do not involve the unknown root. Numerical experiments using adaptive arithmetic with multiple precision and a stopping criteria are implemented without using any known root.

研究の動機と目的

• 非線形方程式の反復的ソルバーの局所収束順序を推定するための新しい計算手法を開発すること。
• 実世界の応用において現実的でない正確な根の必要性を排除すること。
• CLOC、ACLOC、ECLOC、PCLOCの4つの新規変種の精度と効率を評価・比較すること。
• 適応的多倍長精度算術における収束順序の数値的検証のための実用的で根を含まない代替手法を提供すること。

提案手法

• CLOCを提案。これは連続する誤差項の対数比を用いるCOCの変種であるが、依然として正確な根を必要とする。
• ACLOCを導入。連続する反復点間の差分を用いることで、根の必要性を回避する。
• ECLOCを構築。3つの連続する反復点にアイトケンのδ²手続きを適用し、根を推定し、誤差に基づく収束順序を計算する。
• PCLOCを定義。|f(xₙ)| / |f(xₙ₋₁)| の対数比に基づくもので、低計算量の代替手法を提供する。
• Mapleを用いて適応的多倍長精度算術を用い、桁精度に基づく停止基準を設けて高精度計算をシミュレートする。
• 固定された停止閾値η = 2200桁を設定し、最後の有効な反復点Iを最終近似値として採用し、4つの収束順序を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な根の知識が不要な計算的局所収束順序を定義できるか？
• RQ2 ACLOC、ECLOC、PCLOCの3つの新規変種が理論的収束順序をCLOCに比べてどの程度正確に近似するか？
• RQ3 高精度設定下で、どの手法が最も安定的かつ正確な収束順序推定を提供するか？
• RQ4 適応的多倍長精度算術下で、各変種の計算コストと数値的信頼性はいかがなっているか？

主な発見

• CLOCは理論的収束順序の最も正確な近似を提供するが、正確な根を必要とするため、実応用では現実的でない。
• ECLOCはすべてのテスト関数において一貫して最も狭い誤差区間を示し、最小最大誤差境界が[3.7e-5, 1.5e-3]にまで低下するなど、優れた精度を示した。
• ACLOCとPCLOCは実用的な根を含まない代替手法を提供するが、PCLOCは計算コストが低くてもECLOCほど正確ではない。
• すべてのテスト関数と反復法において、4つの変種のλₙの計算値はnの増加に従い理論的順序ρに収束した。
• 2200桁の精度に到達するのに要した反復回数は関数や手法によって6から18回の間で変動したが、ECLOCが最も一貫性のある性能を示した。
• すべてのケースにおいて、計算された収束順序の誤差（|λₖ − ρ|）は許容範囲内に保たれ、提案手法の信頼性が裏付けられた。