[論文レビュー] A toolbox to solve coupled systems of differential and difference equations

Jakob Ablinger, Johannes Bluemlein+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、3ループの質量のあるフェยnmn図計算に生じる、連立線形微分方程式および差分方程式の解の $\varepsilon$-展開係数を自動的に計算する意思決定アルゴリズムを提示する。ホロノミック閉包、分離化、差分環アルゴリズムを活用することで、係数がネストされた超幾何和として閉形式で表現可能かどうかを決定し、完全な解を得るか、不可能性を証明する。この手法は、Mathematicaパッケージ SolveCoupledSystem に実装されており、高次の $\varepsilon$-展開計算を完全に自動化可能である。

ABSTRACT

We present algorithms to solve coupled systems of linear differential equations, arising in the calculation of massive Feynman diagrams with local operator insertions at 3-loop order, which do {\it not} request special choices of bases. Here we assume that the desired solution has a power series representation and we seek for the coefficients in closed form. In particular, if the coefficients depend on a small parameter $\ep$ (the dimensional parameter), we assume that the coefficients themselves can be expanded in formal Laurent series w.r.t.\ $\ep$ and we try to compute the first terms in closed form. More precisely, we have a decision algorithm which solves the following problem: if the terms can be represented by an indefinite nested hypergeometric sum expression (covering as special cases the harmonic sums, cyclotomic sums, generalized harmonic sums or nested binomial sums), then we can calculate them. If the algorithm fails, we obtain a proof that the terms cannot be represented by the class of indefinite nested hypergeometric sum expressions. Internally, this problem is reduced by holonomic closure properties to solving a coupled system of linear difference equations. The underlying method in this setting relies on decoupling algorithms, difference ring algorithms and recurrence solving. We demonstrate by a concrete example how this algorithm can be applied with the new Mathematica package exttt{SolveCoupledSystem} which is based on the packages exttt{Sigma}, exttt{HarmonicSums} and exttt{OreSys}. In all applications the representation in $x$-space is obtained as an iterated integral representation over general alphabets, generalizing Poincaré iterated integrals.

研究の動機と目的

• 連立線形微分方程式および差分方程式の解の $\varepsilon$-展開係数が閉形式で表現可能かどうかを決定する包括的なアルゴリズムの開発を目的とする。
• 特に、3ループの質量のあるフェイマン図に伴う局所的オペレータ挿入を含む文脈において、特別な基底の選択を必要としない、このような方程式系の解法の課題に対処することを目的とする。
• ネストされた超幾何和のクラス内で、係数が閉形式で表現可能かどうかを決定する手続きを提供することを目的とし、その表現が可能でない場合も含めて証明することを目的とする。
• 記号的総和および積分ツールを用いて、$\varepsilon$-展開係数を所望の次数まで自動的に計算することを目的とする。

提案手法

• ホロノミック閉包の性質を活用して、連立微分方程式の解法問題を連立線形差分方程式の解法問題に還元する。
• 分離化アルゴリズムを用いて、再帰的解法および記号的総和に適した形にシステムを簡略化する。
• 差分環アルゴリズムを用いて、解が不定ネストされた超幾何和（調和和、円分和、ネストされた二項係数和を含む）で表現可能かどうかを判定する。
• 本手法は、Mathematicaパッケージ SolveCoupledSystem に実装されており、Sigma、HarmonicSums、OreSys を統合して記号計算を実行する。
• 初期条件は $\alpha$-パラメトリゼーションを用いて計算され、$\varepsilon$-展開プロセスの完全な自動化を可能にする。
• 解は一般のアルファベットを用いた反復積分として表現され、Poincar\'e 逆積分を一般化して、複雑なマスターインテグラルを扱えるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連立線形微分方程式および差分方程式の解の $\varepsilon$-展開係数は、ネストされた超幾何和の形として閉形式で表現可能か？
• RQ2 ネストされた超幾何和のクラス内で、そのような表現が可能かどうかを決定するアルゴリズムが存在するか？ そのような表現が不可能である場合も含め、証明可能か？
• RQ3 局所的オペレータ挿入を伴う3ループの質量のあるフェイマン図から生じる連立方程式系は、特別な基底の選択を必要とせずに自動的に解けるか？
• RQ4 微分方程式系の右辺の計算構造はどのようなものか？ また、解にネストされた二項係数和が必要となる場合でも、一般化された調和和で表現可能か？
• RQ5 記号的総和および積分ツールを用いて、高次の $\varepsilon$-展開を完全に自動的に計算可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、マスターインテグラル $\hat{I}_1(x) = J_6(1,1;x)$、$\hat{I}_2(x) = J_6(2,1;x)$、$\hat{I}_3(x) = J_6(1,2;x)$ の $\varepsilon$-展開係数を、$\varepsilon^3$ 項まで229秒で正しく計算した。
• 3ループ図の解は重み7まで達する40個の調和和を含み、本手法が高重み・複雑な和構造に対しても有効であることを示している。
• 微分方程式系の右辺は一般化された調和和で表現可能であるが、解にはネストされた二項係数和が必要となるため、直接解法手法の限界を示している。
• 特定の係数がネストされた超幾何和のクラスで表現できないことを証明し、厳密な意思決定手続きを提供した。
• SolveCoupledSystem への実装により、IBP簡約済みマスターインテグラルから導かれる連立系の $\varepsilon$-展開プロセスを完全に自動化可能となった。
• 一般のアルファベットを許容する反復積分表現を用いることで、Poincar\'e 逆積分を一般化し、$x$-空間における解の表現を拡張した。