[論文レビュー] Recent Symbolic Summation Methods to Solve Coupled Systems of Differential and Difference Equations

Johannes Bluemlein, Abilio De Freitas+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 36被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、質量のあるフェ Feynman 図の計算に生じる微分方程式および差分方程式の結合系の $\varepsilon$-展開を計算するための記号的総和法を提示する。未結合化アルゴリズム、差分体／環論、および Mathematica パッケージ Sigma、HarmonicSums、EvaluateMultiSums を組み合わせることで、入れ子になった調和的および二項係数和を用いたローレンツ級数解を能率的に導出し、6本の質量のあるフェルミオン線を有するラダー図を含む3ループ質量のあるオペレータ行列要素の計算を可能にする。

ABSTRACT

We outline a new algorithm to solve coupled systems of differential equations in one continuous variable $x$ (resp. coupled difference equations in one discrete variable $N$) depending on a small parameter $ε$: given such a system and given sufficiently many initial values, we can determine the first coefficients of the Laurent-series solutions in $ε$ if they are expressible in terms of indefinite nested sums and products. This systematic approach is based on symbolic summation algorithms in the context of difference rings/fields and uncoupling algorithms. The proposed method gives rise to new interesting applications in connection with integration by parts (IBP) methods. As an illustrative example, we will demonstrate how one can calculate the $ε$-expansion of a ladder graph with 6 massive fermion lines.

研究の動機と目的

• 量子場の理論における微分方程式および差分方程式の結合系の $\varepsilon$-展開を体系的かつ自動的に計算するためのアルゴリズムの開発。
• 質量のあるフェ Feynman 図におけるマスターインテグラルの $\varepsilon$ に関するローレンツ級数解の自動導出を可能にする。
• 差分体／環に基づく記号的総和技法を、マルチスケール QCD 計算に生じる結合系にまで拡張する。
• 記号的ツールを用いて複雑な3ループ質量のあるオペレータ行列要素を評価するための計算フレームワークを提供する。
• 6本の質量のあるフェルミオン線を有するラダー図に対して、本手法の有効性を実証する。

提案手法

• Mellin 変換を用いて、$x$ に関する結合微分方程式を $N$ に関する結合再帰関係に変換する。
• 未結合化アルゴリズムを用いて、1つのマスターマトリクス積分に関する単一の再帰関係にシステムを簡略化し、体系的な $\varepsilon$-展開を可能にする。
• $\varepsilon$-展開の係数は、差分環における Sigma パッケージおよび関連アルゴリズムを用いた記号的総和ツールによって計算される。
• EvaluateMultiSums パッケージを活用して多重和を不定的に入れ子和および積に変換し、SumProduction を用いて和をマスターベース形式に簡約する。
• HarmonicSums を用いた漸近的展開により、無限大の和の上限および極限計算を処理する。
• 生成関数と記号的総和を用いて、逆Mellin変換により $x$-空間における最終結果を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子場の理論における微分方程式および差分方程式の結合系は、$\varepsilon$-展開において記号的総和を用いて体系的に解けるか？
• RQ2 複数スケールを有するマスターマトリクス積分の $\varepsilon$-展開は、代数的アルゴリズムを用いてどのように効率的に計算できるか？
• RQ3 差分体／環に基づく記号的総和ツールは、複雑な3ループ質量のあるフェ Feynman 図をどの程度まで処理できるか？
• RQ4 本手法は、3ループ質量のあるオペレータ行列要素のすべてのラダーフォルダータイプに一般化可能か？
• RQ5 質量のあるフェルミオンを有する6本線ラダー図の $\varepsilon$-展開の構造はいかなるものか？

主な発見

• 本手法は、6本の質量のあるフェルミオン線を有する3ループラダー図の $\varepsilon$-展開を成功裏に計算し、調和的および一般化された調和和を用いた明示的表現を導出した。
• 積分 $D_4(N)$ の $\varepsilon$-展開の最初の3つの係数が導出され、$\varepsilon^{-3}$ 項まで含むものであり、$S_1(N), S_2(N), S_3(N), S_4(N), S_{-3}(N), S_{-2,1}(N), S_{1,1}(N)$ およびその他の一般化された和で表されたものである。
• 結果には、$S_1(N)^2$、$S_2(N)$、$S_1(N)S_2(N)$ といった非自明な調和和の組み合わせが含まれており、$N$ に関する有理関数が係数として付随している。
• 有理関数および調和和を用いて $\varepsilon^{-3}$ 項までを処理でき、高次の $\varepsilon$-展開に対する本手法の能力を示している。
• $D_4(N)$ の最終的な表現には $\zeta_2$、$\zeta_3$、$(-1)^N$ 項が含まれており、本手法がゼータ値および交代和を捉えられることを示している。
• 本手法により、同一のマスターマトリクス積分に依存するすべての3ループ質量のあるオペレータ行列要素の自動計算が可能となり、より広範な応用に向けたフレームワークが整った。