[論文レビュー] A Treatise on Quantum Clifford Algebras

Bertfried Fauser|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2002

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ひとこと要約

本論文は、任意の双線形形式に基づく5つのクリフォードホップ代数の構成を用いて、フェルミオン量子場理論を統合的に扱うためのフレームワークとして、量子クリフォード代数（QCAs）を提唱する。メート、ジョイン、収縮、積のための効率的なグレードフリーのホップ代数的公式を導出し、アンチポードとクロッシングが積と余積構造から自然に生じることを示す。選択によるものではなく、代数的双対性の結果として生じる。主たる貢献は、スピン場QEDを含む非摂動的時序場理論の自然な代数的言語としてQCAsを確立することにある。

ABSTRACT

Quantum Clifford Algebras (QCA), i.e. Clifford Hopf gebras based on bilinear forms of arbitrary symmetry, are treated in a broad sense. Five alternative constructions of QCAs are exhibited. Grade free Hopf gebraic product formulas are derived for meet and join of Grassmann-Cayley algebras including co-meet and co-join for Grassmann-Cayley co-gebras which are very efficient and may be used in Robotics, left and right contractions, left and right co-contractions, Clifford and co-Clifford products, etc. The Chevalley deformation, using a Clifford map, arises as a special case. We discuss Hopf algebra versus Hopf gebra, the latter emerging naturally from a bi-convolution. Antipode and crossing are consequences of the product and co-product structure tensors and not subjectable to a choice. A frequently used Kuperberg lemma is revisited necessitating the definition of non-local products and interacting Hopf gebras which are generically non-perturbative. A `spinorial' generalization of the antipode is given. The non-existence of non-trivial integrals in low-dimensional Clifford co-gebras is shown. Generalized cliffordization is discussed which is based on non-exponentially generated bilinear forms in general resulting in non unital, non-associative products. Reasonable assumptions lead to bilinear forms based on 2-cocycles. Cliffordization is used to derive time- and normal-ordered generating functionals for the Schwinger-Dyson hierarchies of non-linear spinor field theory and spinor electrodynamics. The relation between the vacuum structure, the operator ordering, and the Hopf gebraic counit is discussed. QCAs are proposed as the natural language for (fermionic) quantum field theory.

研究の動機と目的

• 任意の双線形形式（対称、反対称、混合）を用いたクリフォードホップ代数としての量子クリフォード代数（QCAs）の包括的フレームワークを構築すること。
• ホップ代数的構造を用いてグラスマン＝カイリー代数とその双対を統一・一般化し、メート、ジョイン、収縮の効率的計算を可能とすること。
• QCAsにおけるアンチポードとクロッシングが、積と余積テンソル構造の結果であり、任意の選択ではないことを示すこと。
• 低次元クリフォード余代数において非自明な積分が存在しないことを示し、ホップ代数的場理論における基礎的問題を解決すること。
• QCAsを非線形スピン場理論およびスピン場電磁力学の自然な代数的言語として提案し、余単位元を介して真空構造と演算子順序付けを結びつけること。

提案手法

• 生成子と関係式、因子分解、変形（シェヴァリエ）、クリフォード化、二重畳み込みの5つの異なるQCAsの構築法を展開する。
• テンソル代数と双対性を用いて、メート（&v）、ジョイン（∧）、収縮のグレードフリーなホップ代数的公式を導出し、効率的な記号的計算を可能にする。
• クーパーバーグの図式的計算を非局所的積と相互作用を有するホップ代数に対応させるように拡張し、非摂動的解析を可能にする。
• 標準的なホップ代数的双対性をフェルミオン的状況に拡張する「スピン場的」アンチポードの一般化を導入する。
• 2-コサイクルを用いた一般化クリフォード化により、シュヴィンガー＝ダイソン階層の時間順序および正規順序生成関数を導出する。
• ホップ代数における余単位元を真空期待値と結びつけ、演算子順序付けが余単位元構造における特定の選択に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてクリフォード代数を任意の双線形形式（対称、反対称、混合）に一般化し、統一的な量子代数的構造を構築できるか？
• RQ2 グラスマン＝カイリー代数およびその双対におけるメートおよびジョイン演算の代数的および圏論的性質は何か？
• RQ3 ホップ代数におけるアンチポードとクロッシングは、積と余積構造からどのように生じるのか？なぜこれらは任意の選択ではないのか？
• RQ4 低次元クリフォード余代数において非自明な積分が存在しうるか？そして、その結果は正規化および真空構造にどのような意味を持つのか？
• RQ5 2-コサイクルに基づく一般化クリフォード化を用いて、非線形スピン場理論およびスピン場QEDの生成関数をどのように導出できるか？

主な発見

• 変形、因子分解、二重畳み込みを含む、5つの異なる量子クリフォード代数（QCAs）の構築が厳密に確立された。
• グレードフリーなホップ代数的公式がメート、ジョイン、収縮について導出され、ロボット工学および場の理論における効率的な記号的計算を可能にした。
• QCAsにおけるアンチポードとクロッシングが、積と余積テンソル構造の結果であり、任意の選択ではないことが示された。
• 低次元クリフォード余代数には非自明な積分が存在しないことが、双対余代数の構造から導かれた。
• 2-コサイクルを用いた一般化クリフォード化により、非単位的かつ非結合的積が得られ、シュヴィンガー＝ダイソン階層の時間順序および正規順序生成関数が生成された。
• フェルミオン的QFTにおける真空構造が、ホップ代数的余単位元と本質的に関連しており、演算子順序付けが余単位元写像における特定の選択に対応することが示された。