[論文レビュー] A unified approach to well-posedness of type-I backward stochastic Volterra integral equations

Camilo Hernández, Dylan Possamaï|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2020

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 58被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、多変数型I後向きストキャスティックボルテラ積分方程式（BSVIEs）の適切性を証明するための統一的枠組みを提示する。この枠組みは、元のBSVIEを無限次元の標準的後向きSDE系に変換することで達成される。主な貢献は、BSVIEの解とこの拡張された系の解との間の同等性を確立し、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン型PDEを用いた表現公式を導出することにある。これにより、時間に依存しない確率的制御問題のゲーム理論的分析が可能になる。

ABSTRACT

We study a novel general class of multidimensional type-I backward stochastic Volterra integral equations. Toward this goal, we introduce an infinite dimensional system of standard backward SDEs and establish its well-posedness, and we show that it is equivalent to that of a type-I backward stochastic Volterra integral equation. We also establish a representation formula in terms of non-linear semilinear partial differential equation of Hamilton-Jacobi-Bellman type. As an application, we consider the study of time-inconsistent stochastic control from a game-theoretic point of view. We show the equivalence of two current approaches to this problem from both a probabilistic and an analytic point of view.

研究の動機と目的

• 多変数型I後向きストキャスティックボルテラ積分方程式（BSVIEs）の適切性を確立する一般的かつ統一的な手法を開発すること。
• 型I BSVIEと標準的後向きSDEの無限次元系との間の同等性を確立すること。
• ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン型の非線形半線形PDEを用いた解の表現公式を導出すること。
• この枠組みを時間に依存しない確率的制御問題にゲーム理論的視点から適用すること。
• 時間に依存しない制御における確率的および解析的アプローチによる均衡解の同等性を示すこと。

提案手法

• 著者らは、元の型I BSVIEと同等である無限次元の標準的後向きSDE系を導入する。
• 生成子および終端条件に適した可積分性およびリプシッツ条件の下で、この無限次元系の適切性を証明する。
• 適応過程と確率積分を含む変換を通じて、BSVIEの解が無限次元SDE系の解と同等であることを示す。
• 検証の議論を用いて、解をハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン型PDEに結びつける表現公式を導出する。
• 確率的均衡戦略とHJB方程式の解析的解との同等性を示すことで、時間に依存しない制御にこの枠組みを適用する。
• 解の差の成長を制御するため、指数関数的重み付けとグロワールド型推定を用いた収縮写像の議論により、存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数型I BSVIEの適切性を確立する統一的アプローチを開発することは可能か？
• RQ2 型I BSVIEの解構造を捉えることができる、標準的後向きSDEの無限次元系が存在するか？
• RQ3 型I BSVIEの解は、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン型の非線形PDEを用いてどのように表現できるか？
• RQ4 確率的および解析的アプローチの間には、時間に依存しない確率的制御問題において何らかの関係があるか？
• RQ5 この枠組み内で、ゲーム理論的均衡とHJB方程式の解との同等性を厳密に確立できるか？

主な発見

• 標準的な可積分性およびリプシッツ条件の下で、標準的後向きSDEの無限次元系は適切である。これにより、解の存在および一意性が保証される。
• 型I BSVIEの解は、無限次元SDE系の解と同等である。これにより、BSVIE解の新たな特徴付けが得られる。
• 解をハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン型の非線形半線形PDEに結びつける表現公式が導出された。
• この枠組みにより、時間に依存しない確率的制御問題における確率的および解析的アプローチの同等性が厳密に可能になる。
• 指数関数的重み付けを用いた収縮写像の議論により、一意性および安定性が保証され、収縮定数は $ C/c $ で抑えられ、$ c $ が大きい場合には小さくなる。
• 対角過程 $ v_t^t $ が $ \mathbb{H}^2 $ に属する必要がない。これは、BSVIE解析において一般的な技術的仮定を緩和するものである。