[論文レビュー] A variational finite volume scheme for Wasserstein gradient flows

Clément Cancès, Thomas Gallouët+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 68被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、JKOスキームによる時間離散化と、上流移動度を用いた2点フラックス近似による空間離散化を組み合わせることで、Wasserstein勾配流れを解くための新しい変分的有限体積スキームを提示する。この手法は連続問題の変分的構造を保ち、非負性とエネルギー減少を保証し、線形Fokker-Planck方程式に対して収束性が証明されている。時間および空間で1次精度を達成し、多様なエネルギー関数および初期分布に対して安定である。

ABSTRACT

We propose a variational finite volume scheme to approximate the solutions to Wasserstein gradient flows. The time discretization is based on an implicit linearization of the Wasserstein distance expressed thanks to Benamou-Brenier formula, whereas space discretization relies on upstream mobility two-point flux approximation finite volumes. Our scheme is based on a first discretize then optimize approach in order to preserve the variational structure of the continuous model at the discrete level. Our scheme can be applied to a wide range of energies, guarantees non-negativity of the discrete solutions as well as decay of the energy. We show that our scheme admits a unique solution whatever the convex energy involved in the continuous problem, and we prove its convergence in the case of the linear Fokker-Planck equation with positive initial density. Numerical illustrations show that it is first order accurate in both time and space, and robust with respect to both the energy and the initial profile.

研究の動機と目的

• PDE（Fokker-Planck方程式や多孔質媒体方程式など）に現れるWasserstein勾配流れを対象とする、強固で構造を保存する数値スキームの開発。
• 最初に離散化を行い、その後最適化するアプローチにより、連続モデルの変分的構造を離散レベルでも保存すること。
• 広範な凸エネルギー関数に対して、離散的非負性とエネルギー減少を保証すること。
• 正の初期密度を伴う線形Fokker-Planck方程式に対して、スキームの収束性を証明すること。
• 多様な物理的状況において、スキームの安定性と1次精度を数値実験で示すこと。

提案手法

• 時間離散化はJKO半離散化に基づき、Benamou-Brenierの動的定式化を用いてWasserstein距離を含む最小化問題に再定式化する。
• 空間離散化には、対流優勢な流れを扱うために、上流移動度を用いた有限体積法と2点フラックス近似を採用する。
• スキームは、前向きの連続の式と後ろ向きのハミルトニアン・ジャコビ方程式を含む、プライマル・デュアルの鞍点問題から導出され、平均場ゲーム系に帰着する。
• 離散エネルギーは質量保存を満たすように最小化され、双対問題は双対変数（ハミルトニアン・ジャコビポテンシャル）の固定点反復により解かれる。
• 任意の凸エネルギーに対して一意的な解が保証され、離散的Benamou-Brenier公式のバージョンにより、変分的構造が維持される。
• スキームは、非構造化メッシュ上での区分的定数有限体積式を用いて実装され、最適性を満たすために双対変数を反復的に更新する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散レベルでWasserstein勾配流れの変分的構造を保存する有限体積スキームを構築できるか？
• RQ2 提案されたスキームは、一般の凸エネルギー関数に対して離散的非負性とエネルギー減少を保証するか？
• RQ3 正の初期密度を伴う線形Fokker-Planck方程式に対して、スキームは収束するか？
• RQ4 スキームの時間および空間における収束速度は何か？また、異なる初期分布およびエネルギー関数に対してどれほど安定か？
• RQ5 このスキームは、淡水の浸入をモデル化するような系の連立方程式へ拡張可能か？

主な発見

• 任意の凸エネルギー関数に対して、スキームは一意的な解を持つことが証明されており、エネルギーの種類に関わらず数値的安定性が保証される。
• 線形Fokker-Planck方程式に対しては、時間ステップとメッシュサイズがゼロに近づくにつれて、スキームは連続問題の弱解に収束する。
• 数値結果から、時間および空間で1次収束が確認され、メッシュを細かくしたり時間ステップを小さくすると収束プロファイルが改善することが示された。
• 標準的な有限体積スキームよりもエネルギーを速やかに散逸させるが、これは各ステップでエネルギー散逸を最大化するように設計されていることに一致する。
• メッシュを細かくし、時間ステップを小さくするにつれて、スキームのエネルギー散逸は連続系の真の散逸に近づく。
• 理論的収束が保証されていないような系に対しても、スキームは多孔質媒体方程式や塩分の浸入現象といった複雑な物理現象を効果的にシミュレートできた。