[論文レビュー] Absence of Asymptotic Freedom in Non-Abelian Models

Adrian Patrascioiu, Erhard Seiler|ArXiv.org|Feb 18, 2000

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元O(3)非線形スギマモデルが低温において質量ゼロの相を示す数値的・厳密な証拠を提示しており、これはそのマスティブな連続極限において漸近的自由性が成立しないことを示唆している。等価帯における分岐理論と、分岐と臨界行動を結びつける厳密な不等式を用いて、有限の臨界逆温度β_crtは摂動的漸近的自由性と矛盾することを示し、非アーベル場理論における長年の仮定に挑戦している。

ABSTRACT

The percolation properties of equatorial strips of the two dimensional O(3) nonlinear $σ$ model are investigated numerically. Convincing evidence is found that a sufficently narrow strip does not percolate at arbitrarily low temperatures. Rigorous arguments are used to show that this result implies both the presence of a massless phase at low temperature and lack of asymptotic freedom in the massive continuum limit. A heuristic estimate of the transition temperature is given which is consistent with the numerical data.

研究の動機と目的

• 2次元非アーベル非線形スギマモデルが低温において質量ゼロの相を示すかどうかという長年の未解決問題を解明すること。
• N≥3のO(N)モデルが漸近的自由性を示し、したがって常にマスティブな相にあるという広く信じられている仮説を検証すること。
• 狭い等価帯におけるO(3)モデルの分岐が低温で起こらないことの数値的および厳密な証拠を提供し、これは質量ゼロの相を示唆する。
• 等価帯における分岐の不在とマスティブ連続極限における漸近的自由性の不在との間の厳密な関係を確立すること。

提案手法

• 三角格子上でのSwendsen-Wangクラスターアルゴリズムを用いた数値的モンテカルロシミュレーションにより、さまざまなcおよびεを用いた制約作用素（c.a.）モデルを研究する。
• 等価帯S_εと極帽子P_εを、赤道からの与えられた角度距離内にあるスピンの部分集合として定義し、その分岐性を比r = ⟨P_ε⟩ / ⟨S_ε⟩ を用いて分析する。
• 反射正則性とWard恒等式から導かれる厳密な不等式を用いて、標準作用素モデルにおける有限のβ_crtが漸近的自由性と矛盾することを示す。
• 格子サイズLに関する比rの振る舞いを分析し、分岐、リング形成、非分岐の領域を区別する。
• スケーリング議論とRussoの補題を用いて、リング形成領域におけるクラスターサイズの発散を解釈する。
• インスタントンとスーパaintantonsのエネルギー競合に基づくヒューリスティックな議論を用いて、低温における局在的インスタントンから拡張的スーパaintantons様構造への遷移の物理的メカニズムを説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元O(3)非線形スギマモデルは、低温における逆温度βにおいて質量ゼロの相を示すか？
• RQ2 等価帯スピン帯の分岐性を用いて、非アーベルモデルにおける質量ゼロの相の存在を推論できるか？
• RQ3 低温における狭い等価帯における分岐の不在は、マスティブ連続極限の存在と両立可能か？
• RQ4 標準作用素モデルにおける有限の臨界逆温度β_crtは、摂動的領域における漸近的自由性の要請と矛盾するか？
• RQ5 低温における局在的インスタントンから拡張的スーパaintantons様構造への遷移を引き起こす物理的メカニズムは何か？

主な発見

• 数値的シミュレーションにより、十分に大きなcに対して等価帯S_εは分岐せず、比r = ⟨P_ε⟩ / ⟨S_ε⟩ は格子サイズLに依存しなくなり、リング形成を示す。
• 大きなcにおけるS_εの分岐の不在は、分岐理論を用いた厳密な議論により、低温におけるO(3)モデルに質量ゼロの相が存在することを示唆する。
• 標準作用素モデルにおける有限のβ_crtは、漸近的自由性と矛盾する。これは高運動量pにおけるF^T(0)−F^T(p)の必要不可欠な発散を妨げるからである。
• 遷移温度のヒューリスティックな推定値は数値データと整合しており、低温におけるインスタントン支配的からスーパaintantons支配的への遷移を示唆する。
• データには小スケールの歪みの兆候が一切認められない。比rのL依存性の急激な変化と、大きなLにおける飽和は、有限サイズ効果を強く排除する。
• 質量ゼロの相の存在は、漸近的自由性の仮定を覆し、連続極限におけるO(3)モデルの標準的摂動的図式を無効にする。