[論文レビュー] Accelerated gradient methods for total-variation-based CT image reconstruction

Jakob Sauer Jørgensen, Tobias Lindstrøm Jensen+4 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2011

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 18被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、3次元CT画像再構成における全 variation (TV) ベースの手法として、GPBB および UPN と呼ばれる加速勾配法を提案する。標準的な勾配法と比較して反復回数を著しく削減する。これらの手法は、収束が速く、特にスパarsely 観測された状況下でも高精度な再構成を達成する。UPN は、非強い凸性で観測数が少ない状況でも優れた性能を示す。

ABSTRACT

Total-variation (TV)-based Computed Tomography (CT) image reconstruction has shown experimentally to be capable of producing accurate reconstructions from sparse-view data. In particular TV-based reconstruction is very well suited for images with piecewise nearly constant regions. Computationally, however, TV-based reconstruction is much more demanding, especially for 3D imaging, and the reconstruction from clinical data sets is far from being close to real-time. This is undesirable from a clinical perspective, and thus there is an incentive to accelerate the solution of the underlying optimization problem. The TV reconstruction can in principle be found by any optimization method, but in practice the large-scale systems arising in CT image reconstruction preclude the use of memory-demanding methods such as Newton's method. The simple gradient method has much lower memory requirements, but exhibits slow convergence. In the present work we consider the use of two accelerated gradient-based methods, GPBB and UPN, for reducing the number of gradient method iterations needed to achieve a high-accuracy TV solution in CT image reconstruction. The former incorporates several heuristics from the optimization literature such as Barzilai-Borwein (BB) step size selection and nonmonotone line search. The latter uses a cleverly chosen sequence of auxiliary points to achieve a better convergence rate. The methods are memory efficient and equipped with a stopping criterion to ensure that the TV reconstruction has indeed been found. An implementation of the methods (in C with interface to Matlab) is available for download from http://www2.imm.dtu.dk/~pch/TVReg/. We compare the proposed methods with the standard gradient method, applied to a 3D test problem with synthetic few-view data. We find experimentally that for realistic parameters the proposed methods significantly outperform the gradient method.

研究の動機と目的

• 大規模かつ非滑らかである最適化問題のため、全 variation (TV) ベースの CT 画像再構成にかかる計算のボトル neck を解消すること。
• 特にスパarsely 観測および限られた角度からのデータに対して、標準的な勾配射影 (GP) 法の収束が遅いという問題を克服すること。
• ユーザーが指定した許容誤差内で、メモリ効率が良く、高速に収束する最適化アルゴリズムを開発し、高精度な TV 再構成を達成すること。
• 非強い凸性のケース（例：スパarsely 観測データ）においても、収束の信頼性のある停止基準を確保すること。標準的手法では困難な場合が多い。
• 現実的な 3次元 CT 画像再構成シナリオにおいて、標準的な勾配法と比較して、GPBB および UPN が高精度な TV 再構成をいかに高速化できるかを実証すること。

提案手法

• 標準的な勾配法よりも収束を改善するため、Barzilai-Borwein ステップサイズ選択と非単調ラインサーチを組み合わせた GPBB 法を適用する。
• UPN（最適勾配法）アルゴリズムを実装する。これは、補助点の適応的シーケンスを用いて、元々強い凸問題を想定して設計された高速収束レートを達成する。
• 勾配マップに基づく停止基準を用いる：$ \|G_{\nu}(x^{(k)})\|_2/N \leq \epsilon $ で終了し、$ \epsilon $ を $ 10^{-8} $ に設定することで、高精度な解を保証する。
• TV ベースの再構成を制約付き最小化問題として定式化する：$ x^* = \arg\min_{x \in \mathcal{Q}} \left( \frac{1}{2}\|Ax - b\|_2^2 + \alpha\|x\|_{\mathrm{TV}} \right) $、ここで $ \mathcal{Q} = \mathbb{R}_+^{64^3} $ は非負性を強制する。
• 離散的全 variation $ \|x\|_{\mathrm{TV}} = \sum_{j=1}^N \|D_j x\|_2 $ を用い、ボクセル j における勾配の近似 $ D_j $ を用いることで、区分的定数解を促進する。
• C 言語で両アルゴリズムを実装し、MATLAB インターフェースを備える。実装は http://www2.imm.dtu.dk/~pch/TVReg/ で公開されており、臨床および研究現場での実用的利用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GPBB や UPN といった加速勾配法は、標準的な勾配法と比較して、高精度な TV ベースの 3次元 CT 再構成に必要な反復回数を著しく削減できるか？
• RQ2 GPBB および UPN は、標準的な収束仮定が成立しない非強い凸ケース（例：スパarsely 観測 CT 再構成）において、どのように性能を発揮するか？
• RQ3 スパarsely 観測 CT のような、病的で不定な問題において、勾配マップに基づく停止基準は収束を信頼性高く検出できるか？
• RQ4 特に挑戦的なスパarsely 観測シナリオにおいて、UPN は GPBB や標準 GP に比べて収束速度と精度で優れているか？
• RQ5 これらの手法は、ノイズが強く、データが限られた現実的な 3次元画像再構成問題において、精度を維持したまま再構成を高速化できるか、その程度はどの程度か？

主な発見

• UPN は、多数観測および少数観測の両方のデータにおいて、2000 回以内に収束を達成した。一方、標準勾配法 (GP) は少数観測ケースでは同じ制限内に収束しなかった。
• 多数観測シナリオでは、GPBB および UPN の両方が GP より顕著な加速を示し、互いに同等の収束レートを達成した。
• 少数観測シナリオでは、UPN が GP や GPBB よりも著しく速い収束を示し、非強い凸性および不適切に定義された状況下での優位性を顕著に示した。
• すべての手法において、勾配マップノルムの減少が目的関数の減少とよく一致しており、停止基準 $ \|G_{\nu}(x^{(k)})\|_2/N \leq 10^{-8} $ の有効性が裏付けられた。
• UPN を用いた少数観測再構成では、FORBILD 頭部アンソロポロジーの大部分の特徴が正確に回復され、わずか2つの小さな特徴を除いて高忠実度を達成した。
• 強い凸問題を想定して設計された UPN は、少数観測 CT の不定的かつ非強い凸な状況でも、堅牢かつ効果的に動作し、広範な適用可能性を示した。