[論文レビュー] Affine cellularity of affine Yokonuma-Hecke algebras

Weideng Cui|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アフィン Yokonuma-Hecke代数 $ω_{r,n}(q)$ とアフィン A型ヘッケ代数のテンソル積上の行列代数の直和との明示的な代数同型を確立し、$ω_{r,n}(q)$ がアフィンセルフュールであることを証明する。主な結果として、$q$ がポincare多項式の根でない場合、代数が有限グローバル次元を持つことを示し、そのモジュラー表現理論を回復する。

ABSTRACT

We establish an explicit algebra isomorphism between the affine Yokonuma-Hecke algebra $\widehat{Y}_{r,n}(q)$ and a direct sum of matrix algebras with coefficients in tensor products of affine Hecke algebras of type $A.$ As an application of this result, we show that $\widehat{Y}_{r,n}(q)$ is affine cellular in the sense of Koenig and Xi, and further prove that it has finite global dimension when the parameter $q$ is not a root of the Poincaré polynomial. As another application, we also recover the modular representation theory of $\widehat{Y}_{r,n}(q)$ previously obtained in [CW].

研究の動機と目的

• アフィン Yokonuma-Hecke代数 $ω_{r,n}(q)$ とアフィン A型ヘッケ代数のテンソル積上の行列代数の直和との明示的な代数同型を確立すること。
• $ω_{r,n}(q)$ が Koenig と Xi の意味でのアフィンセルフュールであることの証明。
• $q$ がポincare多項式の根でない場合、$ω_{r,n}(q)$ が有限グローバル次元を持つことの証明。
• [CW] で先行して得られた $ω_{r,n}(q)$ のモジュラー表現理論の回復。

提案手法

• Lusztig の枠組みを用いて、アフィン A型拡張ヘッケ代数のテンソル積上の行列代数の直和として構成される補助代数 $ω E_{r,n}$ を定義する。
• $ω E_{r,n}$ が [C2] に提示されたアフィンセルフュール代数の公理的性質 $P_1, P_2, P_3, P_4$ を満たすことを証明する。
• 生成元上で定義された写像 $ψ$ を線形に拡張し、$ω Y_{r,n}(q) \to ω E_{r,n}$ の明示的な代数同型を確立する。
• この同型を用いて、$ω E_{r,n}$ から $ω Y_{r,n}(q)$ へ性質を移す。これにはアフィンセルフュール性や有限グローバル次元が含まれる。
• [KX2] および [C2] のアフィンセルフュール代数に関する結果を適用し、導来モジュール圏の階層構造などの構造的性質を導出する。
• 同型を活用して、$r$ を割り切らない素数 $p$ を特徴とする体上の $ω Y_{r,n}(q)$ のモジュラー表現理論を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン Yokonuma-Hecke代数 $ω_{r,n}(q)$ は Koenig と Xi の意味でのアフィンセルフュールであるか？
• RQ2 $ω_{r,n}(q)$ とアフィン A型ヘッケ代数のテンソル積上の行列代数の直和との間で明示的な代数同型を構成できるか？
• RQ3 $q$ がどのような条件下で $ω_{r,n}(q)$ が有限グローバル次元を持つのか？
• RQ4 この同型写像により、[CW] で先行して得られた $ω_{r,n}(q)$ のモジュラー表現理論を再構築できるか？
• RQ5 $ω_{r,n}(q)$ の導来モジュール圏の構造は何か？また、漸近的代数とはどのように関係するか？

主な発見

• アフィン A型ヘッケ代数のテンソル積上の行列代数の直和との明示的な代数同型が構成され、$ω_{r,n}(q)$ がアフィンセルフュールであることが証明された。
• $q$ がポincare多項式の根でない場合、代数 $ω_{r,n}(q)$ は有限グローバル次元を持つ。
• 位数 $r$ の原始根を含む特徴が 0 の体上の単純 $ω_{r,n}(q)$-加群のパラメータ集合は、有限個のアフィン空間の和集合である。
• $ω_{r,n}(q)$ の導来モジュール圏は、層のイデムポテンス生成子とアフィンセルフュール性のおかげで、アフィン $k$-代数 $B_l$ の導来モジュール圏からなる階層構造を持つ。
• 代数的閉体で特徴が $r$ を割り切らない場合、$ω_{r,n}(q)$ のモジュラー表現理論が同型写像により回復された。
• $q$ がポincare多項式の根でない場合、$ω_{r,n}(q)$ はアフィン擬ヘッケ的である。