[論文レビュー] Affine Yangian action on the Fock space

Ryosuke Kodera|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、アフィン $A_{N-1}^{(1)}$ 量子多様体の局所化された等配ホモロジーとレベル1のフォック空間の間に明示的な同型写像を確立し、両空間におけるヤンギアン $Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$ およびアフィンリー代数 $\rshat{\frak{sl}}_N$ の作用が整合的であることを示している。その結果、アフィンヤンギアン $Y_{\bar{\rho}}(\rshat{\frak{sl}}_N)$ がフォック空間上に自然に作用することが保証される。

ABSTRACT

The localized equivariant homology of the quiver variety of type $A_{N-1}^{(1)}$ can be identified with the level one Fock space by assigning a normalized torus fixed point basis to certain symmetric functions, Jack($\mathfrak{gl}_N$) symmetric functions introduced by Uglov. We show that this correspondence is compatible with actions of two algebras, the Yangian for $\mathfrak{sl}_N$ and the affine Lie algebra $\hat{\mathfrak{sl}}_N$, on both sides. Consequently we obtain affine Yangian action on the Fock space.

研究の動機と目的

• アフィン $A_{N-1}^{(1)}$ 量子多様体の局所化された等配ホモロジーとレベル1のフォック空間との間に標準的な同型写像を確立すること。
• 両空間におけるヤンギアン $Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$ およびアフィンリー代数 $\rshat{\frak{sl}}_N$ の作用が整合的であることを示すこと。
• 両作用が一意に拡張され、フォック空間上にアフィンヤンギアン $Y_{\bar{\rho}}(\rshat{\frak{sl}}_N)$ の作用として実現できることを示すこと。
• 正規化されたトーラス固定点基底とジャック($\mathfrak{gl}_N$)対称関数を用いて、フォック空間上におけるアフィンヤンギアン作用の明示的公式を提供すること。

提案手法

• トーラス固定点に対応する分割でインデックス付けされた基底を持つ、$A_{N-1}^{(1)}$ 量子多様体の局所化された等配ホモロジーを特定する。
• ホモロジーにおける正規化されたトーラス固定点基底要素を、フォック空間におけるジャック($\mathfrak{gl}_N$)対称関数にノルムを保つ割り当てで対応付ける。
• 両側でのドリンフェルト生成子の明示的公式を比較することで、ヤンギアン $Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$ の作用の整合性を検証する。
• パrameterを特殊化し、両基底における $x_{i,0}^\pm$, $h_{i,0}$ の作用を一致させることで、$\rshat{\frak{sl}}_N$ の作用の整合性を確認する。
• クイバー多様体の作用と対称関数基底に関する Varagnolo および Uglov の結果を用いて、同型写像を構成する。
• 直接的な関係式（例えば (5.17), (5.18)）の計算により同型写像を検証し、基底対応と整合的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォック空間上におけるヤンギアン $Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$ およびアフィンリー代数 $\rshat{\frak{sl}}_N$ の作用を同時に実現し、拡張することは可能か？
• RQ2 アフィン $A_{N-1}^{(1)}$ 量子多様体の局所化された等配ホモロジーとフォック空間との間に、両代数的作用を尊重する標準的な同型写像が存在するか？
• RQ3 クイバー多様体ホモロジーにおける正規化されたトーラス固定点基底は、フォック空間におけるジャック($\mathfrak{gl}_N$)対称関数に正確に対応するか？
• RQ4 この同型写像を通じて、アフィンヤンギアン $Y_{\bar{\rho}}(\rshat{\frak{sl}}_N)$ がフォック空間上に作用として実現可能か？
• RQ5 対称関数およびクイバー多様体幾何学の観点から、フォック空間基底上におけるアフィンヤンギアン作用の明確な公式は何か？

主な発見

• 正規化されたトーラス固定点基底要素を $A_{N-1}^{(1)}$ 量子多様体の局所化された等配ホモロジーからジャック($\mathfrak{gl}_N$)対称関数へ割り当てる写像は、$\mathbb{C}(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$-線形等長写像である。
• この割り当ては、ドリンフェルト生成子の作用を両側で一致させることで、$Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$-加群の同型写像であることが確認された。
• パrameterを $\varepsilon_1 = -\varepsilon_2$ に特殊化し、$x_{i,0}^\pm$, $h_{i,0}$ の作用を一致させることで、$\rshat{\frak{sl}}_N$-加群の同型写像であることも検証された。
• 両方の作用 $Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$ と $\rshat{\frak{sl}}_N$ は、フォック空間上で一意にアフィンヤンギアン $Y_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\rshat{\frak{sl}}_N)$ の作用へ拡張可能である。
• フォック空間基底上におけるアフィンヤンギアン作用の明示的公式は、正規化された固定点基底からジャック($\mathfrak{gl}_N$)対称関数への対応により与えられる。
• この結果は、量子トロイダル代数作用に関する Nagao の結果の退化版を提供し、アフィンヤンギアンの場合に対しても類似の平行関係を確立する。