[論文レビュー] On cohomological Hall algebras of quivers : Yangians

Olivier Schiffmann, Éric Vasserot|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、クーヴィー表現のラグランジュ部分スタックのコhomological Hall代数 $\mathbf{Y}^1$ とMaulik-Okounkov Yangian $\mathbb{Y}$ の間で、予想的な同型を確立する。具体的には、それらのコホモロジーに作用する作用を保つ、明示的な埋め込み $\mathbf{Y}^1 \subseteq \mathbb{Y}$ を構成する。主な結果は、任意のクーヴィーに対して、これらの代数およびその表現の正確な比較がなされたことである。

ABSTRACT

We consider the cohomological Hall algebra Y of a Lagrangian substack of the moduli stack of representations of the preprojective algebra of an arbitrary quiver Q, and its actions on the cohomology of quiver varieties. We conjecture that Y is equal, after a suitable extension of scalars, to the Yangian introduced by Maulik and Okounkov, and we construct an embedding of Y in the Yangian, intertwining the respective actions of both algebras on the cohomology of quiver varieties.

研究の動機と目的

• クーヴィー多様体のコホモロジーに作用するコhomological Hall代数 $\mathbf{Y}^1$ とMaulik-Okounkov Yangian $\mathbb{Y}$ を比較すること。
• スカラー拡張後に $\mathbf{Y}^1$ がYangian $\mathbb{Y}$ に同型であると予想すること。
• コホモロジーへの作用を保つ明示的な埋め込み $\mathbf{Y}^1 \subseteq \mathbb{Y}$ を構成すること。
• 有限・アフィン・ジョルダンクーヴィーに対して既知の結果を、エッジループのない任意のクーヴィーに一般化すること。
• コhomological Hall代数の作用を通じて、普遍標準モジュールの幾何的実現を提供すること。

提案手法

• $\mathbf{Y}^1 = \bigoplus_v H^{G(v) \times T}_*(\Lambda^1(v))$ を定義する。ここで $\Lambda^1(v)$ は前プレジョルダン代数表現のモジュライのラグランジュ部分スタックである。
• 安定包絡を構成し、留数を用いて、$\mathbf{Y}^1$ がクーヴィー多様体のコホモロジーに作用することを定義する。
• RTT形式主義とシンプレクティック幾何学を用いて、Borel-Mooreホモロジーに作用するMaulik-Okounkov Yangian $\mathbb{Y}$ を定義する。
• 一般化されたヘッケ対応と $R$-行列を用いて、写像 $\mathbf{Y}^1 \to \mathbb{Y}$ を確立する。
• $F_w = \bigoplus_v H^{G(w) \times T}_*(\mathfrak{M}(v,w))$ における作用が、埋め込み $\mathbf{Y}^1 \subseteq \mathbb{Y}$ によって intertwine されることを証明する。
• 極限サイクルと留数写像を用いて、$\mathfrak{Z}_{\varepsilon,\mathbb{G}_m}$ 上のサイクルを安定包絡と $R$-行列に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー拡張後にコhomological Hall代数 $\mathbf{Y}^1$ はMaulik-Okounkov Yangian $\mathbb{Y}$ に同型であるか？
• RQ2 $\mathbf{Y}^1$ と $\mathbb{Y}$ のクーヴィー多様体のコホモロジーへの作用はどのように比較できるか？
• RQ3 Yangian作用は、ヘッケ対応と安定包絡を通じて幾何的に実現可能か？
• RQ4 クーヴィー多様体の文脈において、$R$-行列と安定包絡の正確な関係は何か？
• RQ5 埋め込み $\mathbf{Y}^1 \subseteq \mathbb{Y}$ は普遍標準モジュールの構造を保っているか？

主な発見

• 本稿は、クーヴィー多様体のコホモロジーへの作用を保つ明示的な埋め込み $\mathbf{Y}^1 \subseteq \mathbb{Y}$ を構成した。
• 安定包絡の構成は、$R$-行列の幾何的実現を提供し、一般化されたヘッケ対応と結びつける。
• 安定包絡を開部分集合に制限したものが引き戻しであることが示され、Yangian作用との整合性を証明する上で鍵となる。
• 極限サイクル $\operatorname{stab}_\varepsilon = \pm \lim_0 [\mathfrak{Z}_{\varepsilon,\mathbb{G}_m}]$ は $\mathfrak{gp}_\varepsilon$ に台を持つ。その制限は、ゼロレベルの安定包絡の引き戻しと一致する。
• $F_w$ における $\mathbf{Y}^1$ の作用は、制限と引き戻しの下でサイクル類の整合性により、$\mathbb{Y}$ の作用と整合的であることが示された。
• 命題4.8の証明は、$\mathfrak{h}^\diamond_1 \cap \mathfrak{h}_1[v_1,\Lambda_\nu;w]$ の交わりが空でないことに依拠しており、サイクル分解の整合性が確認された。