[論文レビュー] Alain Badiou's Mistake: Two Postulates of Dialectic Materialism

Antti Veilahti|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Psychoanalysis, Philosophy, and Politics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アラン・バディウの『ロジクス・オブ・ワールズ』におけるトポス理論の応用を批判し、彼の局所的トポス理論に限定することによって、圏論的変化と物質主義の理解が誤っており、彼の『物質主義の公理』が2つの異なる解釈——アトミック（強い）と弱い（グローテンディーク的）——を許容することを示している。これは、適切なトポス理論的基盤から見ると、彼の哲学的枠組みに根本的な矛盾があることを露呈する。

ABSTRACT

I discuss how Alain Badiou's Logics of Worlds attempts to rephrase his material dialectic philosophical project in terms of topos theory. It turns out that his account restricts to the so called local topos theory. In particular, his claim that categorical change is not genuine is based on a constrained understanding of topos theory. We then discuss his own 'postulate of materialism' and demonstrate that it has two different interpretations depending on whether it is articulated in local or elementary topos theory. While the main concerns in this paper are technical, we also address the serious consequences of topos theory that weigh Badiou's philosophical project.

研究の動機と目的

• バディウが『ロジクス・オブ・ワールズ』においてトポス理論を制限的に用いたことによる哲学的・数学的限界を明らかにすること。
• バディウが圏論的変化が本物ではないと主張する根拠が、局所的トポス理論への過剰な依存に起因することを示すこと。
• 彼の『物質主義の公理』が、局所的トポス理論と素朴なトポス理論の両方で異なる解釈を許容することを示すこと。
• グローテンディーク・トポスが真の数学的変化の源であるのを否定することは、数学的に正当化されていないことを主張すること。
• 集合論的基礎を越えたトポス理論の全的力が、弁証法的物質主義のより豊かで、より物質的根拠に基づいた基礎を提供することを確立すること。

提案手法

• バディウの『ロジクス・オブ・ワールズ』におけるトポス理論の使用を分析し、グローテンディーク・トポスの包括的圏論的枠組みと対比する。
• 局所的トポス（Setを基にした有界トポス）と一般の素朴なトポスの違いを明確にし、バディウがそれらを混同していることを示す。
• バディウの『物質主義の公理』を、アトミック（強い）と弱い（グローテンディーク的）という2つの数学的に異なる形に再構成する。
• 圏論を用いて、トポスの内部論理が集合論的真偽値に還元されないことを示し、バディウが真を二値集合と同一視している点に反論する。
• トポス理論の結果——例えば極限の存在、部分対象分類子、自然数対象——を応用し、バディウの形式的体系における矛盾を暴露する。
• T-集合が修正された証明によりトポスをなすことを示し、バディウの圏的構造の誤った再構築に反論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜバディウの圏論的変化の説明は、数学における真の変容を認識できないのか？
• RQ2 局所的トポス理論と素朴なトポス理論において、バディウの『物質主義の公理』の解釈はどのように異なるのか？
• RQ3 トポス理論を局所的構造に限定することは、どのようにバディウの物質的変化の哲学的主張を損なうのか？
• RQ4 弁証法的物質主義の文脈において、アトミック・トポスとグローテンディーク・トポスの区別が数学的にどのような意味を持つのか？
• RQ5 トポスの内部論理と集合論の外部論理はどのように異なるのか？そしてなぜバディウがそれらを混同することで彼の主張が歪められるのか？

主な発見

• バディウが圏論的変化が本物ではないと主張するのは、特定に局所的トポス理論に限定された理解に基づくものであり、圏論的変換の全範囲を捉えていない。
• 『物質主義の公理』は2つの明確に異なる解釈を許容する——局所的トポスではアトミック（強い）版、グローテンディーク・トポスでは弱い（より一般的な）版であり、バディウはそれらの区別を果たしていない。
• 特に非局所的ケースにおいて、トポスの内部論理は集合論の二値論理に還元されず、バディウが真を {true, false} と同一視している点に反する。
• T-集合をシーヴとして再構築するバディウの主張は、特定の条件下では数学的に正しいが、彼の広範な主張——T-集合がトポスをなす——は修正を要する。
• グローテンディーク・トポスが非局所的・非集合論的構造として存在することは、変化の物質的根拠を別に提供するものであり、バディウの集合論への本質的還元を揺るがす。
• バディウの哲学的プロジェクトは、集合論的基礎に依存する限定的トポス理論に依存しているため、弁証法的物質主義を支持する真の圏論的革新を排除している。