[論文レビュー] Algebra of the infrared and secondary polytopes

Mikhail Kapranov, Maxim Kontsevich+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元 (2,2) スーパーシンメトリック量子場理論における赤外代数の数学的枠組みを、有限集合 A ⊂ ℝ² の頂点を持つ多面体に L∞-代数構造を導入することによって構築する。これは、二次的多面体構成を用いて行われる。この代数のマウラー＝カルタン要素と、フォーカイ＝サイデル圏の A∞-変形との間の関係を確立し、因子化層と Ed-代数構造を用いて、ガイオット＝モーガン＝ウィッテン形式を高次元に一般化する。

ABSTRACT

We study algebraic structures ($L_\infty$ and $A_\infty$-algebras) introduced by Gaiotto, Moore and Witten in their recent work devoted to certain supersymmetric 2-dimensional massive field theories. We show that such structures can be systematically produced in any number of dimensions by using the geometry of secondary polytopes, esp. their factorization properties. In particular, in 2 dimensions, we produce, out of a polyhedral "coefficient system", a dg-category $R$ with a semi-orthogonal decomposition and an $L_\infty$-algebra $\mathfrak g$. We show that $\mathfrak g$ is quasi-isomorphic to the ordered Hochschild complex of $R$, governing deformations preserving the semi-orthogonal decomposition. This allows us to give a more precise mathematical formulation of the (conjectural) alternative description of the Fukaya-Seidel category of a Kahler manifold endowed with a holomorphic Morse function.

研究の動機と目的

• ガイオット＝モーガン＝ウィッテンによる2次元 (2,2) SUSY QFT の研究で提唱された代数的構造の数学的基盤を提供すること。
• ウェブベースの L∞-代数形式を、多面体と二次的多面体の双対言語を用いて高次元に一般化すること。
• L∞-代数のマウラー＝カルタン要素とフォーカイ＝サイデル圏の A∞-変形との間の対応関係を確立すること。
• 二次的多面体上に因子化層を導入し、高次元トポロジカル場理論の組合せ的モデルを提供すること。
• L∞-代数を d 次元で Ed-代数に refining する可能性を検討し、構成の普遍性を拡張すること。

提案手法

• 有限集合 A ⊂ ℝ² から二次的多面体 Σ(A) を構成し、その頂点が A の凸包の三角形分割に対応することを保証する。
• その細胞チェイン複体が d² = 0 を満たすという事実を活用して、Σ(A) のチェイン複体に可換な dg-代数構造を定義する。
• gA すなわち A の頂点を持つ多面体の空間に、gA の双対の対称代数に、細胞境界写像から導かれる微分を用いて L∞-代数構造を導入する。
• 無限遠点を含む「無限大」多面体の概念を用いて、部分代数 g_fin とイデアル g_∞ を定義し、相対的変形枠組みを可能にする。
• g_fin から、g_∞ の変形として得られる A∞-代数 R∞ のホッホシュイルド複体への準同型を、有向ホッホシュイルド複体を用いて構成する。
• 因子化代数の一般化として、二次的多面体上に因子化層を導入し、高次元 TFT をモデル化し、非自明な係数系を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GMWにおけるウェブの L∞-代数は、多面体と二次的多面体の双対言語を用いてどのように再解釈できるか？
• RQ2 L∞-代数構造における微分の幾何的起源は何か？なぜこの設定では自然に d² = 0 が成り立つのか？
• RQ3 無限遠点（半平面選択を表す）の存在が、L∞-代数の変形に自然な A∞-構造をもたらすのはなぜか？
• RQ4 Ed-代数構造と因子化層を用いて、この構成を高次元に一般化できるか？
• RQ5 moduli 空間 Mζ(φ) のコンパクト化が、二次的多面体の因数分解とストラタ構造に類似した構造を実現する役割を果たすのはどのような仕組みか？

主な発見

• gA における L∞-代数構造は、二次的多面体 Σ(A) の細胞チェイン複体から自然に生じ、その複体の位相的性質のおかげで d² = 0 が保証される。
• 1次元の場合、L∞-代数は A∞-代数に引き上げられ、[GMW] の第二の構成が頂点の線形順序の結果として説明できる。
• 無限遠点を導入すると、L∞-代数は部分代数 g_fin とイデアル g_∞ に分解され、g_fin が g_∞ の変形である A∞-代数 R∞ に作用する。
• 自明な係数の場合、g_fin から R∞ のホッホシュイルド複体への準同型が構成され、係数が非自明な場合に因子化層を用いてその拡張がなされる。
• ζ-インスタントンの moduli 空間 Mζ(φ) は、ストラタが Mζ(ψν) の積と同型となるようにコンパクト化可能であり、これは二次的多面体の因数分解とストラタ構造を模倣する。
• 普遍性定理により、L∞-代数 g から R∞ のホッホシュイルド複体への準同型 Φ が存在し、これは高次元において Ed-代数の準同型に refining されることが期待される。