[論文レビュー] Algebraic combinatorial Fourier and Legendre transforms with applications in perturbative quantum field theory

D. M. Jackson, Achim Kempf+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

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ひとこと要約

本稿では、摂動的量子場理論（QFT）における解析的未定義性を解消するために、形式的冪級数環を用いてフーリエ変換およびルジャンドル変換の代数的・組合せ的定式化を導入する。生成関数が発散する場合でも、冪級数の係数にのみ作用させるため、変換は発散の有無にかかわらず常に定義可能であり、Feynman図の生成関数の解析的欠陥にかかわらず、予測の成功を説明する強固な代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Curiously, the predictions of the standard model of particle physics are highly successful in spite of the fact that several parts of the underlying quantum field theoretical framework are analytically problematic. Indeed, it has long been suggested, by Einstein, Schrodinger and others, that analytic problems in the formulation of fundamental laws could be overcome by reformulating these laws without reliance on analytic methods namely, for example, algebraically. In this spirit, we focus here on the analytic ill-definedness of the quantum field theoretic Fourier and Legendre transforms of the generating series of Feynman graphs, including the path integral. To this end, we develop here purely algebraic and combinatorial formulations of the Fourier and Legendre transforms, employing rings of formal power series. These are all-purpose transform methods, i.e., their applicability is not restricted to QFT. When applied in QFT to the generating functionals of Feynman graphs, the new transforms are well defined and thereby help explain the robustness and success of the predictions of perturbative QFT in spite of analytic difficulties. Technically, we overcome here the problem of the possible divergence of the various generating series of Feynman graphs by constructing Fourier and Legendre transforms of formal power series that operate in a well defined way on the coefficients of the power series irrespective of whether or not these series converge. In contrast, the use of formal power series in QFT by Bogolubov, Hepp, Parasiuk and Zimmermann concerned a different kind of divergencies, namely the UV divergencies of loop integrals and their renormalization. Our new methods could provide new algebraic and combinatorial perspectives on QFT structures that are conventionally thought of as analytic in nature, such as the occurrence of anomalies from the path integral measure.

研究の動機と目的

• Feynman図の生成関数の量子場理論的フーリエ変換およびルジャンドル変換の解析的未定義性を解消すること。
• 収束に依存しない代数的・組合せ的代替手法を、解析的変換の代わりに開発すること。
• 生成関数の係数にのみ作用する、完全に定義された変換の枠組みをQFTに提供すること。
• 経路積分測度に起因する異常といった、従来は本質的に解析的と見なされてきた構造に対して、新たな代数的視点を提供すること。

提案手法

• 変換を定義する基盤として、形式的冪級数環を用いる。
• フーリエ変換およびルジャンドル変換を、級数の収束に依存しない、形式的冪級数の係数に作用する形に再定義する。
• 変換は級数の係数に対する組合せ的演算によって構成され、発散の有無にかかわらず定義可能であることを保証する。
• このアプローチはQFTに限らず、生成関数を含む任意の文脈に一般化可能である。
• UV発散のための従来の正則化手法を避ける一方で、変換定義における解析的問題に焦点を当てる。
• 基礎となる級数の収束を要件としないまま、Feynman図の生成関数の関数的を一貫して操作可能にする枠組みを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Feynman図の生成関数が発散する場合でも、フーリエ変換およびルジャンドル変換をどのように代数的に再定義すれば、定義可能に保てるか？
• RQ2 QFTにおいて解析的変換の代わりに、物理的整合性を保ちつつ使用可能な代数的構造は何か？
• RQ3 形式的冪級数変換は、解析的病理を伴うにもかかわらず、摂動的QFTの予測の頑健性をどのように説明できるか？
• RQ4 代数的変換は、経路積分測度に起因する異常といった解析的に問題のある構造に対して、どのような新たな洞察をもたらすか？
• RQ5 数学的厳密性および適用範囲の観点から、従来の解析的定式化と比較して、これらの代数的変換はどのように異なるか？

主な発見

• 提案された代数的フーリエ変換およびルジャンドル変換は、形式的冪級数上で定義可能であり、級数が発散しても問題ない。
• 変換は係数にのみ作用するため、生成関数の収束性に依存しない。
• この方法は、標準的定式化における解析的問題にかかわらず、摂動的QFTの成功を説明する強固な枠組みを提供する。
• このアプローチは、経路積分測度に起因する異常といった、従来は本質的に解析的と見なされてきた構造に対しても、新たな代数的解釈を提供する。
• 変換はQFTに限らず、生成関数を含む任意の文脈に一般化可能な汎用的ツールである。
• この枠組みは従来の正則化を置き換えるものではなく、代わりに異なる種類の解析的問題—特に変換定義における問題—に焦点を当てる。