[論文レビュー] Algebraic topology of Polish spaces. II: Axiomatic homology

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Milnorの加法性公理を一般化する新しい制御された加法性公理を導入することで、ポーランド空間の閉じた対におけるスティーナロード–ジットニコフホモロジーおよびセーフコホモロジーの完全な公理的特徴付けを提供する。主な結果は、これらのホモロジーおよびコホモロジー理論が、エイレンバーグ–スティーナロード公理、ウォレス–ミルナー写像の除去公理、および制御された加法性公理によって一意に決定されることを示す一意性定理であり、ホモロジーは逆極限と余極限の対称性を満たすセル複体（余）ホモロジー複体を用いて計算可能である。

ABSTRACT

Milnor proved two uniqueness theorems for axiomatic (co)homology: one for pairs of compacta (1960) and another, in particular, for pairs of countable simplicial complexes (1961). We obtain their common generalization: the Eilenberg-Steenrod axioms along with Milnor's map excision axiom and a (non-obvious) common generalization of Milnor's two additivity axioms suffice to uniquely characterize (co)homology of closed pairs of Polish spaces (=separable complete metrizable spaces). The proof provides a combinatorial description of the (co)homology of a Polish space in terms of a cellular (co)chain complex satisfying a symmetry of the form $\lim ext{colim} = ext{colim} \lim$.

研究の動機と目的

• ポーランド空間の閉じた対におけるスティーナロード–ジットニコフホモロジーおよびセーフコホモロジーの完全な公理的特徴付けを提供すること。
• コンパクト空間および可算単体的複体に対して有効なMilnorの二つの加法性公理を、ポーランド空間に適用可能な一つの統一的公理に一般化すること。
• エイレンバーグ–スティーナロード公理に加え、ウォレス–ミルナー写像の除去公理および制御された加法性公理が、ポーランド空間上のホモロジーおよびコホモロジー理論を一意に決定することを確立すること。
• 逆系統の三角形ポリハドラ $P_i$ とその結合写像 $P_{i+1} \to P_i$ を用いて構成されるセル複体（余）ホモロジー複体の（余）ホモロジーとして、ポーランド空間のホモロジーおよびコホモロジーを表現する計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 制御された加法性公理の導入：ポーランド空間 $M$ から閉集合 $X$ を除いた空間が、直径が $X$ に近づくように縮小するコンパクト集合 $K_i$ の互いに交わりのない直積に分解できるとき、$H_n(M,X)$ は $\prod H_n(K_i)$ の部分群に同型であり、特定のイデアル $\mathbb{K}$ に対する $\mathbb{K}$-直和である。
• 第I部の双対性補題を用いて、セル複体（余）ホモロジー複体の構成において $\lim\,\operatorname*{colim} = \operatorname*{colim}\,\lim$ の対称性を確立する。
• 各 $P_i$ が $X$ と直径が小さくなる近傍との交わりを捉えるように、三角形分割されたポリハドラの逆系統に基づくセル複体（余）ホモロジー複体を構成する。
• 複体を逆系統 $\dots \to Q_{1K} \to Q_{0K}$ の写像テレスコープとして定義し、$Q_{iK}$ を $X$ のコンパクト部分集合 $K$ の像と交わる $P_i$ の有限部分複体とする。この複体が正しいホモロジーを計算することを示す。
• 同じ複体が $\varinjlim \varprojlim$ および $\varprojlim \varinjlim$ の両方として得られることを示し、逆極限と余極限の間の非自明な対称性を証明し、それが標準的対象としての使用を正当化する。
• 写像除去公理を適用して、普遍的分解 $E_\Delta(X) \to K_\Delta(X)$ のファイバーをコンパクト対 $(P_{\alpha,[0,\infty]}, K\alpha)$ に置き換え、クラスタのテレスコープを用いたホモロジー計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Milnorの二つの加法性公理（コンパクト空間および可算単体的複体に対して有効）を、ポーランド空間に適用可能な一つの公理に統合することは可能か？
• RQ2 $M \setminus X$ の可算分解で直径が小さくなる条件を支配する制御された加法性公理は、ポーランド空間上のスティーナロード–ジットニコフホモロジーおよびセーフコホモロジーを特徴付けるのに十分か？
• RQ3 逆極限と余極限の間の対称性を示すセル複体（余）ホモロジー複体を用いて、ポーランド空間のホモロジーは計算可能か？
• RQ4 エイレンバーグ–スティーナロード公理、写像除去公理、および制御された加法性公理のみを用いて、ポーランド空間上のホモロジーおよびコホモロジー理論の一意性を確立できるか？
• RQ5 ホモロジーを計算する逆極限と余極限の対称性を持つホモロジー複体の幾何学的および代数的構造は何か？

主な発見

• 制御された加法性公理は、Milnorの加法性公理を一般化するものであり、閉じたポーランド空間の対におけるスティーナロード–ジットニコフホモロジーおよびセーフコホモロジーを一意に特徴付けるのに十分である。
• ポーランド空間のホモロジーおよびコホモロジーは、直径が小さくなる近傍を持つ三角形分割ポリハドラの逆系統から構成されるセル複体（余）ホモロジー複体の（余）ホモロジーに同型である。
• この（余）ホモロジー複体は、$\varinjlim \varprojlim$ および $\varprojlim \varinjlim$ の両方の記述を備えており、極限と余極限の間の非自明な対称性を確立している。
• 制御された加法性公理における $\mathbb{K}$-直和は、$\mathbb{N}$ の冪集合内の特定のイデアル $\mathbb{K}$ から生じる。このイデアルは、$K_i$ の直径が $X$ に近づく際の幾何的条件を符号化しており、第I部で導入されたフィルトレーションから導出される。
• 一意性定理により、任意の次数付き同型 $H(pt) \to H'(pt)$ が、公理を満たす二つのホモロジー理論の間の自然同値に一意に拡張可能であり、完全な公理的一意性を証明する。
• この構成により、公理から直接的にポーランド空間のホモロジーおよびコホモロジーを計算可能となり、従来の特徴付けでは不可能だった計算的可解性を実現する。