[論文レビュー] Almost optimal classical approximation algorithms for a quantum generalization of Max-Cut

Sevag Gharibian, Ojas Parekh|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、量子ヘイゼンベルク模型の古典的多項式時間近似アルゴリズムを提示する。これはMax-Cutの量子一般化である。著者たちは、Goe mans-Williamsonアルゴリズムにインspiredされた積状態最適化と確率的丸め技術を活用し、反強磁性的なXY模型に対しては0.649の近似比、反強磁性的なヘイゼンベルクXYZ模型に対しては0.498の近似比を達成した。これは、積状態による理論的上限がそれぞれ2/3および1/2であるため、ほぼ最適である。

ABSTRACT

Approximation algorithms for constraint satisfaction problems (CSPs) are a central direction of study in theoretical computer science. In this work, we study classical product state approximation algorithms for a physically motivated quantum generalization of Max-Cut, known as the quantum Heisenberg model. This model is notoriously difficult to solve exactly, even on bipartite graphs, in stark contrast to the classical setting of Max-Cut. Here we show, for any interaction graph, how to classically and efficiently obtain approximation ratios 0.649 (anti-ferromagnetic XY model) and 0.498 (anti-ferromagnetic Heisenberg XYZ model). These are almost optimal; we show that the best possible ratios achievable by a product state for these models is 2/3 and 1/2, respectively.

研究の動機と目的

• 量子ヘイゼンベルク模型—Max-Cutの非自明な量子一般化—のための効率的な古典的近似アルゴリズムを開発すること。
• 量子制約充足問題における積状態が達成可能な理論的限界と既知の近似比との間のギャップを埋めること。
• 特に、半定値計画法の確率的丸め技術—具体的にはGoe mans-Williamsonアルゴリズム—を量子局所ハミルトニアン問題に拡張すること。
• 積状態のみを用いて、反強磁性的なXYおよびXYZヘイゼンベルク模型に対してほぼ最適な近似比を確立すること。
• 一般の2局所ハミルトニアンを局所ユニタリ変換によって標準形に還元するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 著者たちは、量子ヘイゼンベルク模型の半定値計画法緩和に適用された、Goe mans-Williamsonアルゴリズムに基づく確率的丸め手順を用いる。
• 相互作用項を相関行列Mでモデル化し、局所ユニタリ変換を適用してMを対角化し、パrameter α, β, γを持つ標準形に問題を還元する。
• XY模型（γ = 0）の場合、半定値計画法を解き、その結果得られたベクトルを超平面カットにより丸めることで、0.649の近似比を達成する。
• XYZ模型（α, β, γ ≠ 0）の場合、修正された丸めスキームにより、確率的割り当て下での目的関数の期待値から導かれる0.498の近似比を達成する。
• 局所ユニタリ操作が積状態の近似比を保存することを活用し、既知の解ける状況に還元可能であることを示す。
• 理論的境界は、確率変数の期待内積を用いて導出され、E[r_i r_j] = 2 arcsin(t)/π となる。ここでtはベクトル間のなす角の余弦である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反強磁性的なXY模型において、積状態が達成可能な最良の近似比は何か？ そして、それは効率的に近似可能か？
• RQ2 量子問題の複雑性を考慮しても、古典的アルゴリズムが反強磁性的なヘイゼンベルクXYZ模型においてほぼ最適な近似比を達成可能か？
• RQ3 半定値計画法緩和は、2局所ハミルトニアン問題のような量子制約充足問題にどのように適応可能か？
• RQ4 局所ユニタリ変換を用いて、一般の2局所ハミルトニアンを古典的近似に適した標準形にまでどれほど簡略化できるか？
• RQ5 相関行列Mのランクと、ヘイゼンベルク模型における達成可能な近似比との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 本稿では、反強磁性的なXY模型に対して0.649の近似比を達成した。これは、積状態の理論的上限が2/3であるため、ほぼ最適である。
• 反強磁性的なヘイゼンベルクXYZ模型では、0.498の近似比を達成した。これは、積状態の理論的最大値1/2に近い。
• XY模型における0.649の近似比は、半定値計画法に確率的丸めを適用した結果であり、Goemans-Williamson解析からのarcsin公式を用いて期待値が計算された。
• XYZ模型では、最悪のエッジ状況において0.462の近似比が得られるが、相関構造の精密な解析により0.498に向上した。
• 著者たちは、相関行列Mがランク1、2、3の直交射影である場合、それぞれ少なくとも0.878、0.649、0.498の近似比が達成されることを示した。これは特殊ケースにおける既知の古典的境界と一致する。
• 積状態近似の理論的上限が、それぞれランク1、2、3の相関行列に対して1、2/3、1/2であることが証明され、結果の近最適性が確立された。