[論文レビュー] Almost Optimal Streaming Algorithms for Coverage Problems

MohammadHossein Bateni, Hossein Esfandiari+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、エッジ到着モデルにおける最大被覆問題および最小集合被覆問題のほぼ最適なストリーミングアルゴリズムを提示する。新規のスケッチ技術を用いることで、集合や要素のサイズに依存せず、Õ(n)の空間で(1−ε)α-近似が達成可能である。本手法は、従来の研究におけるオракルアクセスの仮定を排除し、より現実的なストリーミング設定において、ほぼ最適な近似比と空間計算量を達成する。

ABSTRACT

Maximum coverage and minimum set cover problems --collectively called coverage problems-- have been studied extensively in streaming models. However, previous research not only achieve sub-optimal approximation factors and space complexities, but also study a restricted set arrival model which makes an explicit or implicit assumption on oracle access to the sets, ignoring the complexity of reading and storing the whole set at once. In this paper, we address the above shortcomings, and present algorithms with improved approximation factor and improved space complexity, and prove that our results are almost tight. Moreover, unlike most of previous work, our results hold on a more general edge arrival model. More specifically, we present (almost) optimal approximation algorithms for maximum coverage and minimum set cover problems in the streaming model with an (almost) optimal space complexity of $ ilde{O}(n)$, i.e., the space is {\em independent of the size of the sets or the size of the ground set of elements}. These results not only improve over the best known algorithms for the set arrival model, but also are the first such algorithms for the more powerful {\em edge arrival} model. In order to achieve the above results, we introduce a new general sketching technique for coverage functions: This sketching scheme can be applied to convert an $α$-approximation algorithm for a coverage problem to a $(1-\eps)α$-approximation algorithm for the same problem in streaming, or RAM models. We show the significance of our sketching technique by ruling out the possibility of solving coverage problems via accessing (as a black box) a $(1 \pm \eps)$-approximate oracle (e.g., a sketch function) that estimates the coverage function on any subfamily of the sets.

研究の動機と目的

• 大規模な集合を読み込んだり保存したりするコストを無視する、全集合へのオーガルアクセスに依存する従来のストリーミングアルゴリズムの制限を解消する。
• 集合が単位として到着するのではなく、集合-要素関係が1つずつ到着するより一般的なエッジ到着モデルで動作するアルゴリズムを開発する。
• 最大被覆問題および最小集合被覆問題の両方において、ほぼ最適な近似比と空間計算量（Õ(n)）を達成する。
• 標準的なスケッチ手法および被覆関数のノイズありオーガル推定器へのアクセスが、良い近似を達成するために不十分であることを示す。
• 理論的限界を確立し、有利な仮定のもとでも、提案された空間計算量はほぼタイトであることを示す。

提案手法

• 任意のα-近似のオフラインアルゴリズムを(1−ε)α-近似のストリーミングアルゴリズムに変換できる、新しい一般化されたスケッチ技術を導入する。
• スケッチ技術を用いて、ストリーミング形式で集合族のコンactな要約を維持し、完全な集合を格納せずに空間効率的な計算を可能にする。
• 再帰的かつマルチパスのストリーミングフレームワークを用いる：被覆済み要素を繰り返し削除し、残渣グラフに対してスケッチアルゴリズムを適用する。
• スケッチに基づく選択と、残りの未被覆要素に対する最終的なグリーディパスを組み合わせることで、定数因子近似を保証する。
• パrameterizedしきい値（λ）を用いた階層的分解により、各パスで未被覆要素の数を段階的に削減する。
• 総空間使用量がÕ(n/λ³)であることを証明し、r回のパスを用いる場合、総空間はÕ(nm^{O(1/r)})）となる。これはmに対して非線形的であり、ほぼ最適である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オーガルアクセスを全集合に依存せずに、ほぼ最適な近似比を達成するストリーミングアルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ2 集合や基底集合のサイズに依存せず、エッジ到着モデルでÕ(n)の空間計算量を達成することは可能か？
• RQ3 任意のオフラインα-近似アルゴリズムを(1−ε)α-近似ストリーミングアルゴリズムに変換できる一般化されたスケッチ技術を構築することは可能か？
• RQ4 なぜ標準的なスケッチ手法は被覆問題に対して失敗するのか？また、被覆関数のどのような構造的性質がスケッチを困難にするのか？
• RQ5 被覆関数の(1±ε)-近似オーガルへのアクセスがあれば、良いストリーミング近似が達成可能か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、確率1−1/nで、Õ(nm^{O(1/r)})の空間を用いて、集合被覆問題に対して(1+ε)log m-近似を達成する。
• 空間計算量は、集合や基底集合のサイズに依存せず、Õ(n)であり、ほぼ最適で大規模な入力に対してもスケーラブルである。
• より現実的なエッジ到着モデルで動作する。集合が単位で到着するのではなく、任意の順序で集合-要素関係が到着する。従来の研究は集合到着モデルに制限されていた。
• スケッチ技術により、任意のα-近似オフラインアルゴリズムに対して(1−ε)α-近似が可能となり、ストリーミング被覆問題の一般化されたフレームワークを提供する。
• 本稿では、被覆関数の(1±ε)-近似オーガルへのアクセスが、良いストリーミング近似を達成するために不十分であることを証明し、標準的スケッチの限界を強調する。
• 空間計算量はほぼタイトである：標準的仮定のもとでは、エッジ到着モデルで定数因子近似を達成するアルゴリズムは、Õ(n)未満の空間で動作できない。