[論文レビュー] An effective criterion for algebraic contractibility of rational curves

Pinaki Mondal|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素射影平面 ℂℙ² の blow-up における直線の厳密な変換と、すべての例外的除算のうち1つを除いたものの和集合について、代数的可約性の有効で非数値的な基準を提示する。この基準は、MacLane の主要多項式のグローバル版に基づくものであり、必要かつ十分である。また、無限遠点に1本の曲線をもつ正常代数的コンactificationと、無限遠点に1つの場所をもつ ℂ² 内の代数的曲線との間の対応関係を確立する。

ABSTRACT

Let f: Y -> CP^2 be a birational morphism of non-singular (rational) surfaces. We give an effective (necessary and sufficient) criterion for algebraicity of the surfaces resulting from contraction of the union of the strict transform of a line on CP^2 and all but one of the exceptional divisors of f. As a by-product we construct normal non-algebraic Moishezon surfaces with the `simplest possible' singularities, which in particular completes the answer to a remark of Grauert. Our criterion involves `global variants' of `key polynomials' introduced by MacLane. The geometric formulation of the criterion yields a correspondence between normal algebraic compactifications of C^2 with one irreducible curve at infinity and algebraic curves in C^2 with one place at infinity.

研究の動機と目的

• 既存の数値的基準が失敗する状況において、有理曲線の代数的可約性に関する有効な基準の欠落を埋める。
• ℂℙ² の blow-up における直線の厳密な変換と、すべての例外的除算のうち1つを除いたものの和集合の代数的可約性について、必要かつ十分な条件を提供する。
• Grauert が提起した問いを解決するため、『最も単純な可能性』の特異点をもつ非代数的正規Moishezon表面の新しい例を構成する。
• 主に局所的道具として定義された主要多項式が、グローバル座標系で用いられた場合に、依然としてグローバルな幾何的情報を保持することを示す。
• 無限遠点に1本の曲線をもつ正常代数的コンactificationと、無限遠点に1つの場所をもつ ℂ² 内の代数的曲線との間の新しい幾何的対応関係を確立する。

提案手法

• 表面の幾何的構造と可約化対象の曲線に適合した、MacLane の主要多項式のグローバル版を導入する。
• ℂ² の座標環に重み付き次数を導入し、フィルトレーションとそれに関連する初期形式を定義することで、グローバルな文脈における主要多項式の構成を可能にする。
• Buchberger のアルゴリズムを適用し、特定の多項式集合がモノミアル順序に関してグレブナー基底をなすことを証明することで、計算の有効性を保証する。
• 表面の座標環からある次数付き環への全射準同型を構成し、その核を主要多項式によって生成されるイデアルとして特定する。
• 重み関数の正値性と主要形式の性質を用いて、核内の最小次数要素が一意に定まることを保証する。
• 例外的除算と直線の厳密な変換の構造を活用し、有理型写像を定義し、可約化プロセスを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂℙ² の blow-up における直線の厳密な変換と、すべての例外的除算のうち1つを除いたものの和集合が、いつ代数的に可約化可能か？
• RQ2 数値不変量が不十分な状況において、代数的可約性の有効（計算可能）な基準を与えることは可能か？
• RQ3 無限遠点に1本の曲線をもつ正常代数的コンactificationと、無限遠点に1つの場所をもつ ℂ² 内の代数的曲線との間の幾何的関係は何か？
• RQ4 有理曲線の木を可約化することで、非代数的正規Moishezon表面を構成可能か？また、それらがもつことのできる最も単純な特異点は何か？
• RQ5 MacLane の局所的主多項式が、グローバル座標系で用いられた場合、どのようにしてグローバルな幾何的情報を保持するのか？

主な発見

• 本稿は、指定された幾何的設定において、代数的可約性に関する初めての有効で必要十分な基準を提供し、長年の文献的欠落を解消する。
• 基準は、グローバル主要多項式の構成とそれに関連するグレブナー基底構造に基づくものであり、計算可能性と有効性を保証する。
• 基準により、無限遠点に1つの既約曲線をもつ正常代数的コンactificationと、無限遠点に1つの場所をもつ ℂ² 内の代数的曲線との間の1対1対応関係が確立される。
• 著者らは、Grauert が提起した問いに答え、特異点が構造的複雑性において最小限の非代数的正規Moishezon表面の新しい例を構成する。
• 本手法により、もともとは局所的価値理論のために定義された主要多項式が、グローバル座標系で用いられた場合にも、依然としてグローバルな幾何的情報を保持することが示された。
• 証明により、ある特定の環準同型の核が主要多項式によって生成されるイデアルであることが示され、このイデアルが実際に可約化された表面の定義イデアルに丁度一致することが判明した。