[論文レビュー] An Elementary Approach to Truncations

Nima Rasekh|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、無限列制限や集合論的基礎に依存せずに、$(\infty,1)$-圏における切断の構成と解析のための初等的アプローチを提示する。自然数対象とユニバース（対象分類子）を活用することで、内部的切断レベルを定義し、内部的右カルタン拡張を用いて局所化ファンクターを構成する。これにより、非生成約可能な設定でも古典的結果（例えばブレーカーズ＝マセイの定理）の証明が可能となり、特定の圏において非標準的な切断レベルが明らかになる。

ABSTRACT

We study truncated objects using elementary methods. Concretely, we use universes and the resulting natural number object to define internal truncation levels and prove they behave similar to standard truncated objects. Moreover, we take an elementary approach to localizations, giving various equivalent conditions that characterize localizations and constructing a localization out of a sub-universe of local objects via an internal right Kan extension. We then use this general approach, as well as an inductive approach, to construct truncation functors. We use the resulting truncation functors to prove classical results about truncations, such as Blakers-Massey theorem, in the elementary setting. We also give examples of non-presentable $(\infty, 1)$-categories where the elementary approach can be used to define and compute truncations. Finally, we turn around and use truncations to study elementary $(\infty, 1)$-toposes and show how they can help us better understand subobject classifiers and universes

研究の動機と目的

• 無限列制限や集合論的構成を避ける$(\infty,1)$-圏における切断の基礎的枠組みの構築を目的とする。
• 自然数対象とユニバースを用いて内部的切断レベルを定義し、標準的切断理論を初等的$(\infty,1)$-トポスへ一般化することを目的とする。
• 局所化ファンクターを局所的対象の部分ユニバースに沿った内部的右カルタン拡張として構成し、生成約性を要件としない切断ファンクターの構成を目的とする。
• 一般$(\infty,1)$-圏において初等的手法のみを用いて、ブレーカーズ＝マセイの定理を含む古典的ホモトピー論的結果を証明することを目的とする。
• 生成約性のない$(\infty,1)$-圏において、非標準的な振る舞いを示す切断レベルが現れる場合を調査することを目的とする。

提案手法

• 自然数対象を用いて帰納法と逐次列制限を内部化し、切断の帰納的構成を可能にする。
• ユニバース（対象分類子）を用いて、外部の集合論的構成を避けて対象の集合を内部的に定義・推論する。
• 局所的対象の部分ユニバースに沿った内部的右カルタン拡張として局所化ファンクターを構成し、局所化プロセスを一般化する。
• ジョイン構成と内部的逐次列制限を用いて、$(-1)$-切断を反復ジョイン列の列制限として定義する。
• ユニバースと自然数対象の内部構造を用いて、ループ空間の反復による帰納的定義により$n$-切断ファンクターを定義する。
• モダリティと連結性を切断を用いて特徴付けることで、理論を適用し、初等的設定でブレーカーズ＝マセイの定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成約性や無限列制限を仮定せずに、$(\infty,1)$-圏における切断を定義・構成することは可能か？
• RQ2 ユニバースと自然数対象を用いて、内部的に局所化ファンクターをどのように構成できるか？
• RQ3 非生成約可能な$(\infty,1)$-圏における内部的切断の意味は何か、特に切断レベルにどのような影響を及えるか？
• RQ4 ブレーカーズ＝マセイの定理のような古典的定理を、一般$(\infty,1)$-圏において初等的手法のみを用いて証明できるか？
• RQ5 ユニバースと自然数対象は、初等的$(\infty,1)$-トポスにおける内部ホモトピー論をどのように支援するか？

主な発見

• 対象$A$の$(-1)$-切断は、ジョイン列$A^{\ast n}$の逐次列制限として構成され、無限列制限を必要としない初等的構成が得られる。
• 局所的対象の部分ユニバースに沿った内部的右カルタン拡張として局所化ファンクターが構成され、プロセスが初等的に一般化される。
• $n$-切断ファンクターは、$n$-回のループ空間の切断によって帰納的に定義され、内部的帰納法による切断の階層が確立される。
• 構築された切断ファンクターとモダリティを用いて、初等的設定でブレーカーズ＝マセイの定理が証明され、空間に依存せずに古典的結果が回復される。
• 生成約性のない$(\infty,1)$-圏（例えば可算列制限を持たない特定のトポス）では、非標準的な切断レベルが生じ得ることが、第6.3節で示されている。
• ユニバースと自然数対象により、初等的$(\infty,1)$-トポスにおける部分対象分類子と内部論理のより洗練された理解が可能になる。