[論文レビュー] An Inverse Problem for Non-linear Fractional Magnetic Schrodinger Equation

Ru-Yu Lai, Ting Zhou|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2021

Numerical methods in inverse problems参考文献 55被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形分数階磁気シュレーディンガー方程式の前向き問題の適切性を確立し、境界条件からDirichlet-to-Neumann（DN）マップを用いて磁気ベクトルポテンシャル $ A $ と非線形電気ポテンシャル $ a(x,z) $ の両方の同定の一意性を証明する。高次線形化されたDNマップと、線形化方程式に対する新規の最大原理を用いて、$ a $ のテイラー係数を任意の次数まで一意に再構成し、結果として非線形性全体とゲージ同値性を除いて磁気ポテンシャルを一意に特定する。

ABSTRACT

In this paper, we study forward problem and inverse problem for the fractional magnetic Schrodinger equation with nonlinear electric potential. We first investigate the maximum principle for the linearized equation and apply it to show that the problem is well-posed under suitable assumptions on the exterior data. Moreover, we explore uniqueness of recovery of both magnetic and electric potentials.

研究の動機と目的

• 非線形分数階磁気シュレーディンガー方程式の外部データを前提とした前向き問題の適切性を確立すること。
• 磁気ベクトルポテンシャル $ A $ と非線形電気ポテンシャル $ a(x,z) $ を、Dirichlet-to-Neumann（DN）マップから一意に回復する逆問題を調査すること。
• 非局所的で非線形的かつ磁気的分数階PDEに対する逆問題に、高次線形化技術を拡張すること。
• 非線形性 $ a(x,z) $ 全体、特にすべてのテイラー係数がDNデータから一意に回復可能であることを証明すること。
• 磁気ポテンシャル $ A $ がDNデータからゲージ同値性を除いて一意に回復可能であることを示すこと。

提案手法

• 外部データに適切な仮定の下で、線形化された分数階磁気シュレーディンガー方程式に対して最大原理を適用し、適切性を保証する。
• DNマップの高次線形化を用いて、非線形ポテンシャル $ a(x,z) $ のテイラー係数に関する情報を抽出する。
• ベクトルポテンシャル $ A $ を含む非局所的積分定義に従い、分数階磁気シュレーディンガー作用素 $ (-\Delta)_A^s $ を定義する。これは長距離ジャンプを伴うランダムウォークと整合的である。
• 帰納的反復法を用いて、DNマップが $ k+1 $ 階まで一致するならば、対応する解および非線形性がその次数まで一致することを示す。
• Runge近似性質を活用して、コンパクトな外部データを持つ解によって任意の $ L^2 $ 関数を近似し、再構成における密度論的議論を可能にする。
• 強い最大原理を用いて、1次解 $ u^{(1)} $ が $ \Omega $ 内で厳密に正であることを保証し、非線形係数の点ごとの同定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形分数階磁気シュレーディンガー方程式の前向き問題は、適切な外部データ条件の下で適切であると示せるか？
• RQ2 DNマップから磁気ベクトルポテンシャル $ A $ は、ゲージ同値性を除いて一意に回復可能か？
• RQ3 テイラー係数として表現される非線形性 $ a(x,z) $ 全体は、DNデータから一意に再構成可能か？
• RQ4 高次線形化法は、非局所的で非線形的かつ磁気的分数階PDEに成功裏に拡張可能か？
• RQ5 最大原理は、解の一意性と線形化プロセスの妥当性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 外部データおよびポテンシャルに関する適切な仮定の下で、非線形分数階磁気シュレーディンガー方程式の前向き問題は適切である。
• ゲージ不変性に従い、磁気ベクトルポテンシャル $ A $ はDNマップからゲージ同値性を除いて一意に回復可能である。
• 2次微分係数 $ \partial_z^2 a(x,0) $ は、Runge近似性質を用いた密度論的議論により、DNマップによって一意に決定される。
• 帰納法により、$ k \geq 2 $ についての高次微分係数 $ \partial_z^k a(x,0) $ は、低次の項が一致するものとして、すべてDNデータから一意に回復可能である。
• 各次数 $ k $ における解の階層 $ u^{(k)} $ は、DNデータおよび既知の低次の項によって一意に決定され、再構成の整合性が保証される。
• テイラー級数のすべての係数が帰納的に回復可能であるため、非線形性 $ a(x,z) $ 全体がDNマップから一意に特定される。