[論文レビュー] An Isotopic Perturbation Lemma Along Periodic Orbits

Nicolas Gourmelon|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$C^1$-同相写像に対してフランクスの等位的摂動補題の洗練版を確立し、周期軌道に沿う線形コサイクルの経路が固定次元の強い安定/不安定方向を保存するならば、その摂動は対応する局所安定・不安定多様体をも保存できることが示された。主な貢献は、$C^1$-摂動下でも不変多様体を保存する経路に沿った等位的摂動技法であり、$C^1$-一般的力学系におけるホモクリニック構造の制御を可能にする。

ABSTRACT

A well-known lemma by John Franks asserts that one obtains any perturbation of the derivative of a diffeomorphism along a periodic orbit by a $C^1$-perturbation of the whole diffeomorphism on a small neighbourhood of the orbit. However, one does not control where the invariant manifolds of the orbit are, after perturbation. We show that if the perturbated derivative is obtained by an isotopy along which some strong stable/unstable manifolds of some dimensions exist, then the Franks perturbation can be done preserving the corresponding stable/unstable semi-local manifolds. This is a general perturbative tool in $C^1$-dynamics that has many consequences. We give simple examples of such consequences, for instance a generic dichotomy between dominated splitting and small stable/unstable angles inside homoclinic classes.

研究の動機と目的

• フランクスの元の補題における$C^1$-摂動後の不変多様体の制御不足を解消すること。
• 周期軌道に沿う摂動において、局所安定・不安定多様体を保存する手法を開発すること。
• 支配的分解の欠如するホモクリニッククラス内でのホモクリニック接合や異次元サイクルを体系的に構成するためのツールを提供すること。
• 線形コサイクルの等位的経路に沿って、強い多様体のフラッグ全体を保存するように摂動技法を一般化すること。
• $C^1$-一般的力学系への応用を可能にし、支配的分解と小さな角度の二分岐に関する考察を可能にすること。

提案手法

• 周期軌道に沿って線形コサイクルのホモトピーを用い、固定次元の強い安定/不安定方向が経路全体にわたり存続することを保証する。
• 軌道に沿った指定された導出の経路と一致する$C^1$-摂動を構成し、不変多様体の局所的構造を保存する。
• 許容可能な不変多様体のフラッグを特定し、基本領域のアニュラス内での摂動がそれらを保存することを保証する。
• 鍵となる技術的条件は、ある時刻$t_0$における$i$番目の強い安定固有値が等しい絶対値を持つことであり、これによりすべての$j \leq i$に対する$j$-強い安定多様体が保存可能となる。
• 摂動は周期軌道の近傍に局在化され、この領域の外では元の同相写像と一致する。
• 保存的およびシンプレクティックな設定へも拡張可能であり、余次元1の多様体では技術的障害が生じるため、適応が必要となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期軌道に沿った$C^1$-摂動が、強い安定・不安定多様体の構造を保存できるか？
• RQ2 線形コサイクルの経路がどのような条件下で摂動中に不変多様体を保存できるか？
• RQ3 支配的分解の欠如するホモクリニッククラス内で、どのように体系的にホモクリニック接合や異次元サイクルを構成できるか？
• RQ4 フランクスの補題を、導出の等位的経路に沿って強い多様体のフラッグ全体を保存する形に一般化できるか？
• RQ5 この保存性の結果が、$C^1$-一般的力学系に与える影響、特に支配的分解と小さな安定/不安定角度の二分岐に関してはいかなるものか？

主な発見

• ある時刻$t_0$における$i$番目の強い安定固有値が等しい絶対値を持つ限り、$i$-強い安定多様体のアニュラス内ではすべての$j \leq i$に対する$j$-強い安定多様体が保存される。
• 摂動の大きさは、行列の経路$({\mathcal{A}}_t)$のサイズに比例して、任意に小さくできる。
• 摂動は軌道を保存し、周期軌道の小さな近傍の外では元の同相写像と一致する。
• この手法により、均一な支配的分解が存在しないホモクリニッククラス内でのホモクリニック接合の構成が可能となる。
• この結果は、ホモクリニッククラスにおける支配的分解と小さな安定/不安定角度の間の一般的二分岐を示唆する。
• 技術的障害が生じるが、保存的およびシンプレクティックな設定へも拡張可能であり、余次元1の多様体では局所的保存が困難となる。