[論文レビュー] An unfitted $hp$-interface penalty finite element method for elliptic interface problems

Haijun Wu, Yuanming Xiao|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational MathematicsEngineering参考文献 29被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元の非適合メッシュ上における楕円型界面問題に対して、$hp$-バージョンの非適合界面ペナルティ有限要素法（hp-IPFEM）を提案する。対称および非対称な変分式に界面フラックス安定化項とペナルティ項を組み合わせ、破損$H^1$ノルムにおける最適な$h$収束と、半次のオーダーだけ劣る$p$収束を達成し、双対性による議論により$L^2$誤差推定が得られる。

ABSTRACT

An $hp$ version of interface penalty finite element method ($hp$-IPFEM) is proposed for elliptic interface problems in two and three dimensions on unfitted meshes. Error estimates in broken $H^1$ norm, which are optimal with respect to $h$ and suboptimal with respect to $p$ by half an order of $p$, are derived. Both symmetric and non-symmetric IPFEM are considered. Error estimates in $L^2$ norm are proved by the duality argument.

研究の動機と目的

• 界面がメッシュ要素を貫通する非適合Cartesianメッシュ上でも、体積適合三角形分割を必要とせず、高次の安定な有限要素法を構築すること。
• 破損$H^1$ノルムにおけるメッシュサイズ$h$の最適収束率と、多項式次数$p$の劣最適だが鋭い収束率を達成すること。
• ペナルティ有限要素法を$hp$-バージョンの枠組みに拡張し、対称および非対称両形式において安定性と収束性を保証すること。
• 双対性による議論を用いて、$H^1$ノルムおよび$L^2$ノルムにおける厳密な誤差推定を導出し、界面位置に依存しない安定性を確保すること。

提案手法

• 解とフラックスの界面をはさんで生じるジャンプをペナルティ化する変分式を用いて、対称および非対称な$hp$-界面ペナルティ有限要素法（hp-IPFEM）を定式化する。
• 非適合メッシュ上での精度と条件数の改善を図るため、双線形形式に重み付き平均フラックス技術を適用する。
• 界面条件を弱い形で強制するために、解のジャンプおよびフラックスのジャンプの両方のペナルティ項を導入し、安定性と収束性を確保する。
• 不連続ガレルキンに類似したアプローチを採用し、ペナルティ安定化を施すことで、界面に切断された要素に対しても高次多項式近似（$p$-refinement）を可能にする。
• 曲面界面パッチにおけるトレース不等式を導出し、界面の円錐型幾何とパラメータ化を用いて境界項を制御する。
• 双対性による議論を適用して$L^2$誤差推定を導出し、$H^1$ノルムを超える収束解析を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非適合メッシュ上における楕円型界面問題に対して、最適な$h$収束とほぼ最適な$p$収束を維持する$hp$-バージョンの有限要素法を構築可能か？
• RQ2 対称形式と非対称形式の選択が、$hp$-IPFEMの安定性および収束性にどのように影響するか？
• RQ3 破損$H^1$ノルムにおける非適合$hp$-FEMの安定性と最適収束を保証するための最適なペナルティパラメータのスケーリングは何か？
• RQ4 非適合メッシュおよび界面の切断を考慮しても、標準的なFEMと同等の$L^2$収束率を達成可能か？
• RQ5 界面の幾何的仮定（例：$C^2$-滑らかさ）およびメッシュの形状正則性が誤差推定にどのように影響するか？

主な発見

• 破損$H^1$ノルムにおける$h$収束率は最適であり、誤差推定は界面がメッシュに対してどの位置にあろうとも独立する。
• $p$収束率は$p$の半次のオーダーだけ劣り、$O(h^p + h^{p+1/2})$となるが、これは本分野における非適合$hp$-法で知られている最良の結果である。
• $L^2$ノルムにおける誤差推定は双対性による議論で得られ、標準的な正則性仮定のもとで収束が確認される。
• 対称形式および非対称形式の両方が安定かつ収束するスケームを提供し、対称形式はより良好な条件数を示す。
• 本分析は、円錐に基づく幾何とパラメータ化を用いて証明された新規の曲面界面パッチにおけるトレース不等式に依存しており、小規模な要素に対してもロバストである。
• 界面が要素を任意の位置で切断しても、再メッシュや複雑な基底関数の変更を必要とせず、一様な安定性と収束性を維持する。