[論文レビュー] Analysis and Application of Optimal Transport For Challenging Seismic Inverse Problems

Yunan Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2019

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 55被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、従来のL²ベースのFWIにおける局所最小値、ノイズ感受性、深部反射体以下の地下速度構造の不良回復という3つの主な課題を克服するため、全波形逆問題（FWI）における頑健な不一致尺度として2次 Wasserstein 距離（W₂）の使用を提案する。最適輸送理論を活用することで、W₂は振幅および位相差を捉え、安定した凸型に近い収束を実現し、反射支配のデータでも深部の速度構造を効果的に回復可能となる。

ABSTRACT

In seismic exploration, sources and measurements of seismic waves on the surface are used to determine model parameters representing geophysical properties of the earth. Full-waveform inversion (FWI) is a nonlinear seismic inverse technique that inverts the model parameters by minimizing the difference between the synthetic data from the forward wave propagation and the observed true data in PDE-constrained optimization. The traditional least-squares method of measuring this difference suffers from three main drawbacks including local minima trapping, sensitivity to noise, and difficulties in reconstruction below reflecting layers. Unlike the local amplitude comparison in the least-squares method, the quadratic Wasserstein distance from the optimal transport theory considers both the amplitude differences and the phase mismatches when measuring data misfit. We will briefly review our earlier development and analysis of optimal transport-based inversion and include improvements, for example, a stronger convexity proof. The main focus will be on the third "challenge" with new results on sub-reflection recovery.

研究の動機と目的

• 低周波数データが欠落している場合や初期モデルが不適切な場合に顕著な局所最小値の問題を抱えるL²ベースの全波形逆問題（FWI）に対する持続的課題に対処する。
• 高周波数ノイズに対してL²不一致が感受しやすい問題を克服し、アーチファクトの増幅と逆問題品質の低下を防ぐ。
• 屈曲波が存在せず反射波に依存する深部反射界面以下の低波数速度構造の正確な回復を可能にする。
• W₂ベースのFWIが、特に深部地下構造の再構築において、L²-FWIよりも高速かつ高精度にモデル収束を達成することを示す。
• W₂が標準的なL²ノルムと比較して、地震逆問題において優れた凸性と安定性を示す理論的および数値的証拠を確立する。

提案手法

• FWIにおける標準的なL²不一致関数を、最適輸送理論を用いて振幅および位相差の両方を考慮する2次 Wasserstein 距離（W₂）に置き換える。
• 累積分布関数（CDF）およびその逆関数を用いた1次元の明示的W₂計算を用い、最適化ループ内での勾配計算を効率化する。
• 信号の平行移動およびスケーリングに対してW₂のより鋭い凸性定理を適用し、モデル更新における改善された収束特性を証明する。
• 低周波成分のデータ残差を最初に補正し、その後に高周波成分を補正する階層的誤差補正メカニズムを導入し、マルチスケール最適化戦略を模倣する。
• 合成データと観測データが近接している場合にW₂が重み付きH⁻¹ノルムに等価になるという事実を活用し、最適化中の安定かつ滑らかな収束を保証する。
• 層状モデルおよび2004年BPソルトモデルを用いた大規模な数値実験を行い、W₂-FWIの性能をL²-FWIと比較して、データ不一致、モデル誤差、収束速度の観点から検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次 Wasserstein 距離（W₂）は、地震探査における全波形逆問題（FWI）において、L²と比較してより凸的かつ安定した目的関数として機能できるか？
• RQ2 低周波数データが欠落している場合や初期モデルが不適切な場合に、W₂ベースのFWIは局所最小値の問題を緩和できるか？
• RQ3 W₂ベースのFWIは、L²ベースのFWIと比較して、ノイズに対して優れたロバスト性を示すか？
• RQ4 反射波のみが利用可能な状況下で、W₂ベースのFWIは最も深い反射界面以下の速度構造を効果的に回復できるか？
• RQ5 W₂-FWIにおける残差補正の階層的挙動はどのようなものか？また、低波数モデル成分の回復とどのように関連しているか？

主な発見

• W₂-FWIは150イテレーションでL²-FWIが1800イテレーションで達成するモデル誤差の2倍以上を削減するが、L²-FWIは1800イテレーションでもモデル誤差の減少はわずか7%にとどまる。
• 合成データと観測データが近接している場合にW₂距離は重み付きH⁻¹ノルムに等価になるため、最適化プロセス中に安定的かつ滑らかな収束が保証される。
• 3層モデルのテストでは、W₂-FWIが低周波成分の残差を最初に補正し、その後に高周波成分の残差を補正するため、体系的かつ安定したモデル更新が可能となる。
• BPソルトモデルの逆問題では、W₂-FWIが最も深い反射体の下の層の厚さと速度を効果的に再構築するが、L²-FWIはサイクルスキップと収束性の悪さにより同様のタスクに失敗する。
• 残差のフーリエ解析により、W₂-FWIが滑らかなモードの誤差を早期に補正し、振動モードの誤差は滑らかな成分が最小化された後でのみ補正されることを示しており、階層的かつマルチスケールの最適化挙動を示している。
• 信号の平行移動およびスケーリングに対してW₂の改善された凸性定理により、理論的頑健性および地震データに時間ずれやスケーリングの変動がある場合の広範な適用可能性が確認された。