[論文レビュー] Analysis of a positivity-preserving splitting scheme for some nonlinear stochastic heat equations

Charles-Édouard Bréhier, David Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2023

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 68被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、乗法的空間時間白色ノイズを伴う非線形確率的熱方程式に対して、正値性を保つLie–Trotter分割スキームと有限差分法を組み合わせた数値スキームを提案する。このスキームは、CFL条件のもとで時間方向に1/4、空間方向に1/2の均円収束を保証するが、標準的手法が失敗する数値シミュレーションにおいても正値性を保持する。

ABSTRACT

We construct a positivity-preserving Lie--Trotter splitting scheme with finite difference discretization in space for approximating the solutions to a class of nonlinear stochastic heat equations with multiplicative space-time white noise. We prove that this explicit numerical scheme converges in the mean-square sense, with rate $1/4$ in time and rate $1/2$ in space, under appropriate CFL conditions. Numerical experiments illustrate the superiority of the proposed numerical scheme compared with standard numerical methods which do not preserve positivity.

研究の動機と目的

• 乗法的空間時間白色ノイズを伴う非線形確率的熱方程式の解の正値性を保つ数値スキームの開発。
• 適切なCFL条件の下で、完全離散化された分割スキームの均円収束を分析すること。
• ディリクレ境界条件を伴うコンact領域におけるSPDEに対する正値性を保つ数値手法の不足を解消すること。
• 物理的整合性を維持しながら、計算的に効率的で明示的な時間積分スキームを提供すること。

提案手法

• Lie–Trotter分割戦略により、SPDEを確定的部分と確率的部分に分解し、各部分問題を正確または半解析的に解けるようにする。
• 確定的部分は中心差分法により空間離散化され、ラプラシアンは行列 $ N^2 D^N $ で近似される。
• 確率的部分は、各時間ステップで非線形係数 $ f(u_{m,n}^{ ext{LT}}) $ を凍結することで、幾何ブラウン運動として正確に解ける。
• 時間積分には明示的再帰式 $ u_{m+1}^{ ext{LT}} = \exp(\tau N^2 D^N) \hat{u}_{m+1}^{ ext{LT}} $ を使用し、$ \hat{u}_{m+1,n}^{ ext{LT}} $ には確率的指数関数項が含まれる。
• スカラーおよび非線形性がグローバルリプシッツ条件を満たす系形式の確率的熱方程式にこのスキームを適用する。
• 収束解析は、$ g $ がグローバルリプシッツかつ $ C^1 $ であり、$ g(0) = 0 $ を満たし、初期データ $ u_0 \geq 0 $ であると仮定して実施される。

(a) $g(v)=v$

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全離散化された分割スキームは、乗法的空間時間白色ノイズを伴う非線形SPDEの解の正値性を保てるか？
• RQ2 このようなSPDEに対して、明示的正値性保持スキームの均円収束速度は何か？
• RQ3 提案スキームは、Euler–Maruyamaのような標準的手法と比べて正値性をどれほどよく保っているか？
• RQ4 標準的なCFL条件のもとで、このスキームは安定性と収束性を維持できるか？
• RQ5 分割戦略は、正値性を保ちつつ、結合された確率的熱方程式系へと拡張可能か？

主な発見

• 提案されたLie–Trotter分割スキームは、適切なCFL条件のもとで、時間方向に $ 1/4 $、空間方向に $ 1/2 $ の均円収束を達成する。
• 数値実験では、Lie–Trotterスキームが500サンプルパス中500件すべてで正値性を保持するが、Euler–Maruyamaスキームは完全に失敗する。
• 確率的指数関数Eulerおよび半implicit Euler–Maruyamaスキームは、それぞれ99.8%および99.2%のサンプルで正値性を保持するが、依然として本提案スキームに比べ一貫性と安定性に劣る。
• このスキームは計算的に効率的で明示的であり、各時間ステップで非線形連立方程式を解く必要がない。
• 連続および離散グリーン関数の差の厳密な推定により収束解析が支えられ、時間離散化誤差に対して $ \mathcal{O}(\tau^{1/2}) $ のバウンドが得られる。
• 本手法は、ディリクレ境界条件を伴うコンパクト領域における空間時間白色ノイズ駆動非線形SPDEに対する、正値性を保つ数値スキームとして、初めて知られている。

(b) $g(v)=\frac{v}{(1+v^{2})}$