[論文レビュー] Applications of coherent classical communication and the Schur transform to quantum information theory

Isaac L. Chuang|ArXiv.org|Dec 30, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 159被引用数 73

ひとこと要約

本学位論文は、2つの基盤的量子情報ツールを導入する：コherent古典通信（古典的情報を量子操作を通じて伝えるユニタリフレームワーク）と、シュール変換を効率的に実装する多項式時間の量子回路。主な貢献は、クリーブシュ＝ゴルダン変換を用いた、シュール変換の構成的かつ効率的な実装であり、これにより新しい量子アルゴリズムが可能になり、対称群上の量子フーリエ変換とシュール＝ウェイの双対性が統合される。

ABSTRACT

Quantum mechanics has led not only to new physical theories, but also a new understanding of information and computation. Quantum information began by yielding new methods for achieving classical tasks such as factoring and key distribution but also suggests a completely new set of quantum problems, such as sending quantum information over quantum channels or efficiently performing particular basis changes on a quantum computer. This thesis contributes two new, purely quantum, tools to quantum information theory--coherent classical communication in the first half and an efficient quantum circuit for the Schur transform in the second half.

研究の動機と目的

• ユニタリ相互作用を用いて古典的および量子通信タスクを統一する、量子シャノン理論の形式的枠組みを構築すること。
• 量子プロトコルにおける標準的な古典通信のユニタリ代替としての、coherent古典通信の概念を導入・形式化すること。
• シュール変換の多項式時間の量子回路を構築し、量子情報理論における長年の未解決問題を解決すること。
• シュール変換と対称群 $\mathcal{S}_n$ 上の量子フーリエ変換との間のアルゴリズム的関係を確立すること。
• シュール変換が、対称群およびユニタリ群の対称性を含む量子アルゴリズムの効率的実装を可能にする方法を示すこと。

提案手法

• 資源不等式を用いて量子シャノン理論を形式化し、もつれと古典通信資源を用いて通信タスクを記述すること。
• 古典通信を置き換えるほぼユニタリなプロセスとしてのcoherent古典通信を導入し、量子コherーを保ちながら量子プロトコルに統合すること。
• テンソル積空間を $\mathcal{S}_n$ および $\mathcal{U}_d$ の既約表現に分解するため、クリーブシュ＝ゴルダン変換を用いたシュール変換の量子回路を開発すること。
• $\mathbb{C}[\mathcal{S}_n]$ の群代数を $(\mathbb{C}^n)^{\otimes n}$ の $1^n$ 重み空間に埋め込み、置換を量子状態に写像すること。
• シュール変換を用いて、$\mathbb{C}[\mathcal{S}_n]$ を $\bigoplus_{\lambda} \mathcal{P}_\lambda^* \otimes \mathcal{P}_\lambda$ に写像することで、$\mathcal{S}_n$ 上のフーリエ変換を実行すること。ここで $\mathcal{P}_\lambda$ は既約表現である。
• $\mathcal{S}_n$ の表現行列とシュール基底との間の同型を確立し、シュール空間のGZ基底が、位相を除いて既約表現のGZ基底と一致することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子プロトコルにおける古典通信を、量子コherーを保ちつつ、ユニタリなプロセスに置き換えることは可能か？
• RQ2 量子通信タスクにおいて、もつれと古典通信の最適なトレードオフは何か？また、coherent通信を用いてどのように導出可能か？
• RQ3 $n$ および $\log(1/\epsilon)$ に対して多項式時間で実行される、シュール変換を効率的に実装する量子回路は存在するか？
• RQ4 シュール変換を用いて、対称群 $\mathcal{S}_n$ 上の量子フーリエ変換をどのように実装できるか？
• RQ5 シュール変換と $\mathcal{S}_n$ 上の量子フーリエ変換との間の正確な関係は何か？また、それらの表現行列はどのように比較できるか？

主な発見

• もつれと古典通信を含む資源不等式として、既知のすべての符号化定理を表現する、量子シャノン理論の新しい形式的枠組みが構築された。
• 古典通信のユニタリ代替としてのcoherent古典通信が導入され、これにより新しいプロトコルが可能になり、既存のプロトコルが共通の枠組みで統合された。
• クリーブシュ＝ゴルダン変換を用いた、シュール変換の多項式時間の効率的量子回路が構築され、実行時間は $\operatorname{poly}(n, \log 1/\epsilon)$ に達成された。
• シュール変換により、$\mathbb{C}[\mathcal{S}_n]$ を $\bigoplus_{\lambda} \mathcal{P}_\lambda^* \otimes \mathcal{P}_\lambda$ に写像することで、$\mathcal{S}_n$ 上の量子フーリエ変換が実現可能である。同型 $\mathbb{C}[\mathcal{S}_n] \cong \bigoplus_{\lambda} \mathcal{Q}_\lambda^n(1^n) \otimes \mathcal{P}_\lambda$ を介して実現される。
• シュール変換下での $\mathcal{S}_n$ の表現行列が、既約表現 $\mathcal{P}_\lambda$ の表現行列と同型であることが示され、各基底ベクトルに対して任意の位相のみが異なる。この位相の完全な特徴付けは、未解決の問題のまま残っている。