[論文レビュー] Applications of Polyfold Theory I: The Polyfolds of Gromov-Witten Theory

Helmut Hofer, Krzysztof Wysocki+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、一般のコンpaktoなシンプレクティック多様体におけるグロモフ＝ウィトテン不変量を構成するための多層型理論的枠組みを確立する。これは、安定曲線の空間に多層型構造を定義し、その上での強多層型バンドルの適切でsc滑らかかつフレドホルムな断面として、コーシー＝リーマン作用素を定義することによって達成される。主な貢献は、コーシー＝リーマン作用素に一意な向きを定義することであり、これにより一般の摂動を用いた分岐積分を用いて不変量を定義可能となる。

ABSTRACT

In this paper we start with the applications of polyfold theory to symplectic field theory.

研究の動機と目的

• 一般のコンパクトなシンプレクティック多様体におけるグロモフ＝ウィトテン不変量の厳密な解析的基盤を多層型理論を用いて提供すること。
• コンパクト化されたモジュライ空間が悪く振る舞う問題を解決するため、安定曲線の空間に多層型構造を構築すること。
• 強多層型バンドルの適切でsc滑らかなフレドホルム断面として、コーシー＝リーマン作用素を表す断面を定義すること。
• フレドホルム断面に一意な向きを確立し、摂動された解集合上の積分を可能にする。
• シンプレクティック場理論の解析的枠組みを完成させ、グロモフ＝ウィトテン不変量をその主要な副産物として得ること。

提案手法

• シンプレクティック多様体へのマッピングを持つ安定ノード付きリーマン面の空間 $ Z $ に多層型構造を構築する。
• sc滑らかなスプライシングおよびグラービング技術を用いて、バンドル $ W \to Z $ に強多層型バンドル構造を導入する。
• 非線形コーシー＝リーマン作用素 $ \overline{\partial}_J $ を $ W \to Z $ のsc滑らかな断面として定義する。
• $ \overline{\partial}_J $ が指数0の適切でsc滑らかなフレドホルム断面であることを証明する。
• 複素向きとsc滑らかな経路に 沿った継続を用いて、フレドホルム断面に一意な向きを構成する。
• 抽象的フレドホルム摂動理論を適用し、コンパクトで重み付きの滑らかな分岐部分軌道としての摂動された解集合を獲得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノード的退化が生じるにもかかわらず、擬全純曲線のモジュライ空間に滑らかな構造を与える方法は何か？
• RQ2 ノード付き曲線においても、多層型設定においてコーシー＝リーマン作用素をフレドホルム断面として定義できるか？
• RQ3 グロモフ＝ウィトテン理論におけるコーシー＝リーマン作用素に関連するフレドホルム断面に、一意な向きは何か？
• RQ4 横断性が成立しない状況下で、分岐積分をどのように用いてグロモフ＝ウィトテン不変量を定義できるか？
• RQ5 sc滑らかさとスプライシングは、モジュライ空間に一貫したグローバルな多層型構造を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 安定曲線の空間 $ Z $ は、適切に定義された、パラコンパクトでハウスドルフな位相を持ち、多層型構造の同値類が一意に定まる。
• バンドル $ W \to Z $ は、$ Z $ の多層型構造と整合する強多層型バンドル構造を備えている。
• コーシー＝リーマン作用素 $ \overline{\partial}_J $ は、強多層型バンドル $ W \to Z $ の適切でsc滑らかなフレドホルム断面であることが証明された。
• 摂動を施した $ \overline{\partial}_J $ の解集合は、コンパクトで重み付きの滑らかな分岐部分軌道となる。
• 複素向きとsc滑らかな経路に沿った継続を用いて、フレドホルム断面に一意な向きが構成された。
• 局所モデル間の同型写像においても、この一意な向きが保存されることにより、モジュライ空間全体にわたる一貫性が保証された。