[論文レビュー] Approximate Consensus in Highly Dynamic Networks.

Bernadette Charron-Bost, Matthias Függer+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Distributed systems and fault tolerance被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、トポロジーが予測不能に変化する非常に動的なネットワークにおいても、近似コンSENSUS が達成可能であることを確立している。各ラウンドの通信グラフに根付きのスパニングツリーが存在する限り、コーディネータ（根）が任意に変化しても成立する。単純な平均化アルゴリズムが、解法可能性を完全に捉えられることを示しており、ε-精度を達成するには O(n^{n+1} log(1/ε)) の同期ラウンドが必要であり、メッセージ遅延が有界な場合にはより鋭いバウンドが得られる。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the approximate consensus problem in highly dynamic networks in which topology may change continually and unpredictably. We prove that in both synchronous and partially synchronous systems, approximate consensus is solvable if and only if the communication graph in each round has a rooted spanning tree, i.e., there is a coordinator at each time. The striking point in this result is that the coordinator is not required to be unique and can change arbitrarily from round to round. Interestingly, the particularly simple class of averaging algorithms entirely captures the solvability issue of approximate consensus in that the problem is solvable if and only if it can be solved using any averaging algorithm. We show that approximate consensus can be achieved with precision of $\varepsilon$ in a coordinated network model in $O(n^{n+1} \log\frac{1}{\varepsilon})$ synchronous rounds, and in $O(\Delta n^{n\Delta+1} \log\frac{1}{\varepsilon})$ rounds when the maximum round delay for a message to be delivered is $\Delta$. We investigate various network models in which this exponential bound in the number of nodes reduces to a polynomial bound, and we prove that a general upper bound on the time complexity of averaging algorithms has to be exponential. We apply our results to networked systems with a fixed topology and classical benign fault models, and deduce both known and new results for approximate consensus in these systems. In particular, we show that for solving approximate consensus, a complete network can tolerate up to $2n-3$ arbitrarily located link faults at every round, in contrast with the impossibility result established by Santoro and Widmayer (STACS '89) showing that exact consensus is not solvable with $n-1$ link faults per round originating from the same node.

研究の動機と目的

• 予測不能なトポロジー変化を伴う非常に動的なネットワークにおける近似コンセンサスの解法に必要な十分条件を特定すること。
• 単純な平均化アルゴリズムが、このようなシステムにおける近似コンセンサスの解法可能性を完全に特徴づけられるかどうかを調査すること。
• さまざまなネットワークモデル、特にメッセージ遅延が有界な場合を含めて、近似コンセンサスの時間計算量に対するタイトなバウンドを確立すること。
• 特にリンク障害を伴う固定トポロジーのネットワークにおける、従来の良性障害モデルにおけるコンセンサスの結果を拡張すること。
• 正確なコンセンサスに関する先行の不可能性結果を統合・精緻化し、より強い障害モデル下でも近似コンセンサスが依然として可能であることを示すこと。

提案手法

• 近似コンセンサスが、同期的および部分的に同期的システムにおいて、各ラウンドの通信グラフが根付きのスパニングツリーを含むときかつそのときに限り解けることを証明すること。
• 近位ネットワークのダイナミクスにかかわらず、近似コンセンサスの解法可能性が平均化アルゴリズムのクラスによって完全に捉えられることを示すこと。
• 平均化アルゴリズムの収束時間の分析を行い、ε-精度を達成するための上界として O(n^{n+1} log(1/ε)) の同期ラウンドを導出すること。
• 最大メッセージ遅延 Δ を有する部分的に同期的システムに分析を拡張し、O(Δ n^{nΔ+1} log(1/ε)) ラウンドのバウンドを得ること。
• 特定のネットワークモデルでは時間計算量の指数関数的バウンドが多項式時間に低下することを同定し、平均化アルゴリズムの一般的な上界が指数的であることを示すこと。
• 固定トポロジーのネットワークに結果を適用し、リンク障害下での近似コンセンサスの新たな可能性条件を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 予測不能なトポロジー変化を伴う非常に動的なネットワークにおける近似コンセンサスの必要十分条件は何か？
• RQ2 コーディネータの変更に関係なく、平均化アルゴリズムが動的ネットワークにおける近似コンセンサスの解法可能性を完全に特徴づけられるか？
• RQ3 メッセージ遅延が有界な状況下で、近似コンセンサスにおけるε-精度を達成するための最もタイトな時間計算量バウンドは何か？
• RQ4 同じ障害モデル下で、近似コンセンサスの解法可能性は正確なコンセンサスと比べてどのように異なるか、特に耐障害性の観点から。
• RQ5 リンク障害を伴う固定トポロジーのネットワークにおいて、1ラウンドあたりのリンク障害の最大数はどれくらいまでで、近似コンセンサスが依然として達成可能か？

主な発見

• 近似コンセンサスは、各ラウンドの通信グラフが根付きのスパニングツリーを含むとき、かつそのときに限り、トポロジーが予測不能に変化する非常に動的なネットワークでも解ける。これは、コーディネータ（根）がラウンドごとに任意に変化しても成立する。
• 平均化アルゴリズムのクラスは、動的ネットワークにおける近似コンセンサスの解法可能性を完全に捉えている。つまり、問題が解けるのは、任意の平均化アルゴリズムで解けるときのみである。
• ε-精度を達成するための時間計算量は、最悪ケースで O(n^{n+1} log(1/ε)) の同期ラウンドである。
• メッセージ遅延Δが有界な場合、時間計算量は O(Δ n^{nΔ+1} log(1/ε)) ラウンドに増加し、ネットワークサイズと遅延の両方に依存することが示された。
• 特定のネットワークモデルでは、時間計算量の指数的バウンドが多項式時間に低下するが、平均化アルゴリズムの一般上界は指数的でなければならない。
• 固定トポロジーのネットワークでは、完全なネットワークは1ラウンドあたり最大 2n−3 個の任意に配置されたリンク障害に耐えられる。これは、Santoro および Widmayer (STACS '89) が示した、正確なコンセンサスを破壊する n−1 個の障害の限界を上回る。