[論文レビュー] Approximate Consensus in Highly Dynamic Networks: The Role of Averaging Algorithms

Bernadette Charron-Bost, Matthias Függer+1 more|Max Planck Digital Library|Aug 4, 2014

Distributed systems and fault tolerance参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、根（コーディネータ）が任意に変化しても、通信グラフの各ラウンドに根付きのスパニングツリーが存在する場合に限り、非常に動的なネットワークにおける近似コンセンサスが解けることを確立している。また、識別子を必要としないメモリレスな平均化アルゴリズムが、解消可能性を完全に特徴づけられ、$\varepsilon$-精度を達成するのに $O(n^{n+1}\log\frac{1}{\varepsilon})$ の同期ラウンド、または遅延 $\Delta$ を伴うと $O(\Delta n^{n\Delta+1}\log\frac{1}{\varepsilon})$ のラウンドを要することを示している。構造的モデルでは多項式時間の境界が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the approximate consensus problem in highly dynamic networks in which topology may change continually and unpredictably. We prove that in both synchronous and partially synchronous systems, approximate consensus is solvable if and only if the communication graph in each round has a rooted spanning tree, i.e., there is a coordinator at each time. The striking point in this result is that the coordinator is not required to be unique and can change arbitrarily from round to round. Interestingly, the class of averaging algorithms, which are memoryless and require no process identifiers, entirely captures the solvability issue of approximate consensus in that the problem is solvable if and only if it can be solved using any averaging algorithm. Concerning the time complexity of averaging algorithms, we show that approximate consensus can be achieved with precision of $\varepsilon$ in a coordinated network model in $O(n^{n+1} \log\frac{1}{\varepsilon})$ synchronous rounds, and in $O(Δn^{nΔ+1} \log\frac{1}{\varepsilon})$ rounds when the maximum round delay for a message to be delivered is $Δ$. While in general, an upper bound on the time complexity of averaging algorithms has to be exponential, we investigate various network models in which this exponential bound in the number of nodes reduces to a polynomial bound. We apply our results to networked systems with a fixed topology and classical benign fault models, and deduce both known and new results for approximate consensus in these systems. In particular, we show that for solving approximate consensus, a complete network can tolerate up to 2n-3 arbitrarily located link faults at every round, in contrast with the impossibility result established by Santoro and Widmayer (STACS '89) showing that exact consensus is not solvable with n-1 link faults per round originating from the same node.

研究の動機と目的

• 予測不能なトポロジの変化を伴う非常に動的なネットワークにおいて、近似コンセンサスが計算可能となる最小限のネットワーク条件を特定すること。
• 匿名でメモリレスな平均化アルゴリズムが、このような環境下での近似コンセンサスの解消可能性を完全に特徴づけられるかどうかを調査すること。
• 制限付きメッセージ遅延を伴う同期的および部分的に同期的なモデルにおける平均化アルゴリズムの時間複雑性境界を確立すること。
• 指数的時間複雑性が多項式時間に短縮される構造的ネットワークモデルを探索すること。
• 完全グラフを含む静的ネットワークにおける一時的リンク障害に対する耐障害性に関する新たな結果を導出すること。

提案手法

• 同期的および部分的に同期的なシステムにおいて、近似コンセンサスが解けるのは、各ラウンドの通信グラフに根付きのスパニングツリーが存在する場合に限り、根の識別子や時間的変化に関係なく成り立つことを証明すること。
• メッセージ遅延をモデル化し、根の到達可能性を分析するために、$\Delta$ ラウンドにわたる層状グラフ $\tilde{G}$ への通信グラフの新規変換を用いること。
• 時間窓内での根に到達可能なノード集合を追跡するための集合 $T_a(k)$ および $T_b(k)$ を定義し、単調性および閉包性の性質を活用すること。
• 帰納的推論と背理法を用いて、$n\Delta$ ラウンド経過後に $T_a(k+n\Delta-1)$ と $T_b(k+n\Delta-1)$ が交差する必要があることを示し、これがコンセンサスを示唆すること。
• 平均化アルゴリズムがメモリレスであり、プロセス識別子を必要としないという事実を活用し、匿名の動的ネットワークに適していることを強調すること。
• 根付きグラフの構造と可能な状態遷移の数に関する組合せ的議論を用いて、収束時間の上界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非常に動的なネットワークにおける近似コンセンサスを可能にする通信グラフの最小構造的条件は何か？
• RQ2 メモリレスで識別子なしの平均化アルゴリズムは、動的ネットワークにおける近似コンセンサスの解消可能性を完全に特徴づけられるか？
• RQ3 制限付きメッセージ遅延を伴う動的ネットワークにおいて、平均化アルゴリズムが $\varepsilon$-精度に達するまでの時間複雑性は何か？
• RQ4 どの構造的ネットワークモデルにおいて、平均化アルゴリズムの指数的時間複雑性が多項式時間に短縮されるか？
• RQ5 完全ネットワークは、近似コンセンサスを達成しつつ、最大何個の一時的リンク障害に耐えられるか？また、これは正確なコンセンサスにおける既知の不可能性結果と比べてどうか？

主な発見

• 非常に動的なネットワークにおいて、近似コンセンサスが解けるのは、各ラウンドの通信グラフに根付きのスパニングツリーが存在する場合に限り、根が任意に変化しても成り立つ。
• メモリレスで匿名の平均化アルゴリズムのクラスは、近似コンセンサスの解消可能性を完全に特徴づけている。つまり、問題が解けるのは、任意のこのようなアルゴリズムによって解ける場合に限る。
• 同期ネットワークでは、$\varepsilon$-精度に達するまでに $O(n^{n+1}\log\frac{1}{\varepsilon})$ ラウンドで近似コンセンサスが達成される。
• 遅延 $\Delta$ を伴うと、時間複雑性は $O(\Delta n^{n\Delta+1}\log\frac{1}{\varepsilon})$ ラウンドに増加する。
• 完全グラフなどの構造的ネットワークモデルでは、指数的境界が多項式時間に短縮され、動的変化に対しても効率的なコンセンサスが可能になる。
• 完全ネットワークは、1ラウンドあたり最大 $2n-3$ 個の任意の位置のリンク障害に耐えられ、これは Santoro と Widmayer (1989) が示した正確なコンセンサスの $n-1$ 故障制限を大幅に上回る。