[論文レビュー] Approximating the diameter of a graph

Liam Roditty, Virginia Vassilevska Williams|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、直径 D = 3h + z である非重み付きグラフの直径を Õ(m²⁻¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾) 時間で近似する決定的アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは (2h + z)-近似を達成する。従来の Õ(m√n + n²) 法より、頂点の出次数の閾値と標的としたBFS計算を活用することで改善され、より良い近似が部分時間で達成可能であるならば、強い指数時間仮説を否定することになる強力な証拠を提供する。

ABSTRACT

In this paper we consider the fundamental problem of approximating the diameter $D$ of directed or undirected graphs. In a seminal paper, Aingworth, Chekuri, Indyk and Motwani [SIAM J. Comput. 1999] presented an algorithm that computes in $\Ot(m\sqrt n + n^2)$ time an estimate $\hat{D}$ for the diameter of an $n$-node, $m$-edge graph, such that $\lfloor 2/3 D floor \leq \hat{D} \leq D$. In this paper we present an algorithm that produces the same estimate in $\Ot(m\sqrt n)$ expected running time. We then provide strong evidence that a better approximation may be hard to obtain if we insist on an $O(m^{2-\eps})$ running time. In particular, we show that if there is some constant $\eps>0$ so that there is an algorithm for undirected unweighted graphs that runs in $O(m^{2-\eps})$ time and produces an approximation $\hat{D}$ such that $ (2/3+\eps) D \leq \hat{D} \leq D$, then SAT for CNF formulas on $n$ variables can be solved in $O^{*}((2-δ)^{n})$ time for some constant $δ>0$, and the strong exponential time hypothesis of [Impagliazzo, Paturi, Zane JCSS'01] is false. Motivated by this somewhat negative result, we study whether it is possible to obtain a better approximation for specific cases. For unweighted directed or undirected graphs, we show that if $D=3h+z$, where $h\geq 0$ and $z\in {0,1,2}$, then it is possible to report in $ ilde{O}(\min{m^{2/3} n^{4/3},m^{2-1/(2h+3)}})$ time an estimate $\hat{D}$ such that $2h+z \leq \hat{D}\leq D$, thus giving a better than 3/2 approximation whenever $z eq 0$. This is significant for constant values of $D$ which is exactly when the diameter approximation problem is hardest to solve. For the case of unweighted undirected graphs we present an $ ilde{O}(m^{2/3} n^{4/3})$ time algorithm that reports an estimate $\hat{D}$ such that $\lfloor 4D/5 floor \leq \hat{D}\leq D$.

研究の動機と目的

• スパarsな非重み付きグラフの直径をより速く近似するアルゴリズムの設計、特に直径が小さい場合に焦点を当てる。
• Aingworthらのアルゴリズムの直径近似における Õ(m√n + n²) の実行時間の改善。
• 効率的な直径近似の限界を調査する。特に、部分時間で 3/2-近似より良い近似が可能かどうか。
• 部分時間でより良い近似が達成可能であるならば、CNF-SATの複雑さにおけるブレークスルーを意味することを示す条件付き下界を提供する。

提案手法

• 出次数 ≥ Δ である高出次数頂点の集合 H を選択し、BFS計算の回数を削減する。
• すべての H 内の頂点から出るBFSと、スーパーソースノードを介した H への到達距離を O(m) 時間で計算する。
• H からの距離が最大となる頂点 w を選択し、その w から出るBFS木を計算して直径を推定する。
• 次に、w のBFS木の深さが限界内にある頂点から入ってくるBFS木を計算し、推定値を精緻化する。
• BFS計算のコストを H からの計算とBFS木の頂点からの計算の両方にバランスさせるために、パラメータ Δ = m¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾ を使用する。
• 最終的な推定値は、すべての計算済みBFS木の最大深さであり、直径に対して 2h + z 以上の下界を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非重み付きグラフの直径は、2/3D よりも良い近似で部分時間で近似可能か？
• RQ2 直径 D = 3h + z であるグラフに対して、(2h + z)-近似を Õ(m²⁻¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾) 時間で達成する決定的アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 O(m²⁻ε) 時間で (3/2 − ε)-近似を達成する条件付きの硬さ限界は何か？
• RQ4 より速い直径近似アルゴリズムが存在するならば、強い指数時間仮説は否定可能か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは Õ(m²⁻¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾) の期待時間で実行され、直径 D = 3h + z であるグラフに対して 2h + z ≤ D̂ ≤ D を満たす推定値 D̂ を返す。
• 定数直径 D = 3h + z の場合、z ≠ 0 であれば 3/2 よりも優れた近似が得られ、従来の 2/3D の下界を上回る。
• 非重み付き無向グラフでは、Õ(m²⁄³n⁴⁄³) 時間で (4/5)D の近似が達成され、このクラスでは 2/3D の下界を上回る。
• 本論文では、無向非重み付きグラフに対して O(m²⁻ε) 時間で (3/2 − ε)-近似を達成するアルゴリズムが存在するならば、CNF-SAT に対して超指数的時間のアルゴリズムが得られることを示し、強い指数時間仮説に矛盾する。
• Δ = m¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾ と設定することで、BFS計算のコストが H からの計算とBFS木の頂点からの計算の両方にバランスされ、アルゴリズムの実行時間が Õ(m²⁻¹⁄⁽²ʰ⁺³⁾) で最小化される。
• この手法は決定的であり、高速な行列乗算を必要としないため、スパースグラフに対して実用的である。